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ましょうグラフです。頂点集合X ⊆ Vが呼ばれ、重要な場合X ≠ ∅とには、頂点V ∖ Xは、正確に1つの頂点に隣接していないX。問題は、頂点集合見つけることであるS ⊆ Vように最小サイズのS ∩ X ≠ ∅すべての重要な設定のためのXを。G=(V,E)G=（V、E）G=(V,E)X⊆Vバツ⊆VX\subseteq VX≠∅バツ≠∅X\neq\emptysetV∖XV∖バツV\setminus XXバツXS⊆VS⊆VS\subseteq VS∩X≠∅S∩バツ≠∅S\cap X\neq\emptysetXバツX この問題には、次のような噂拡散の解釈があります。頂点は、iの他のすべての近傍がすでに通知されている場合に限り、その近傍jに噂を拡散します。問題は、最終的に全員に通知されるように、最初にいくつの頂点を通知する必要があるかです。i私ijjji私i

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我々は、ブール関数を持っていると言うと我々が適用δ -randomに制限Fを。さらに、ランダムな制限の結果として、fを計算する決定木TがサイズO （1 ）に縮小するとします。これはfの影響が非常に低いことを意味しますか？f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}δδ\deltafffTTTfffO(1)O(1)O(1)fff

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すべてのエッジが単位容量を持つグラフを考えます。多項式時間で最小カットを見つけることができます。 エッジの容量を無限に増やすことが許可されているとします（エッジの両側のノードをマージするのと同じです）。最小カットを最大化するためにkエッジの最適なセット（容量は無限に増加します）を選択する最適な方法は何ですか？kkkkkk

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私はインドの大学院生です。著名な教授によるワークショップ、会議、招待講演への参加にとても興味があります。 いつものように話の終わりに何人かの人々は質問をし、スピーカーはそれらに答えます。しかし、私の問題は、質問と回答のほとんどを理解していないことです。質問してもスピーカーの答えがわかりません。 誰かが自分の経験と私の問題への提案を共有できますか？

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私はメタヒューリスティックスのコースを教えており、プロジェクトという用語の古典的な組み合わせ問題の興味深いインスタンスを生成する必要があります。TSPに注目しましょう。次元以上のグラフに取り組んでいます。私はランダムから採取された値を用いてコストマトリックスとグラフを生成するために、もちろん試みU （0 、1 ）、及び（ランダムパスの多くをサンプリングして描画された）パスコストのヒストグラムは、（予想通り）ことを見出し非常に狭い正規分布（μは100ですが、σは約4です）200200200U（0 、1 ）U(0,1)U(0,1)μμ\mu 100 100~100σσ\sigma444）。これは、私の意見では、ほとんどのランダムパスは平均を下回り、最小コストパスはランダムパスに非常に近いため、問題は非常に簡単であることを意味します。 だから、私は、次のアプローチを試みた。生成した後 -マトリックスを、グラフの周りに長いランダムウォークを取り、ランダム（ベルヌーイを用いて、P = 0.5）、二重またはエッジの値を半減します。これはすべての値を下げ、最終的にはゼロに達する傾向がありますが、適切な数のステップを実行すると、μが約2、σが約1の分布が得られます。U（0 、1 ）U(0,1)U(0,1)p = 0.5p=0.5p=0.5μμ\mu222σσ\sigma111 私の質問は、最初に、これは興味深い問題の良い定義でもありますか？理想的には、非常にマルチモーダル（最も一般的な近傍関数の場合）であり、最小値の近くにパスがほとんどないため、ほとんどのランダム解が最適値から非常に離れているインスタンスが必要です。2番目の質問は、この説明を踏まえて、そのような特性を持つインスタンスをどのように生成できるかということです。

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kkk点がグリッドからランダムに選択されます。（明らかにk \ leq p \ times qであり、与えられた定数です。）頂点iと頂点jの間のエッジの重みが元のグリッド上の2つの頂点のマンハッタン距離に等しくなるように、これらのkポイントから完全な重み付きグラフが作成されます。。K ≤ Pp × qp×qp\times qK I JK ≤ P × Qk≤p×qk\leq p\times qkkk私iijjj これらのk個のノードを通過する最短（最小総重量）ハミルトニアンパスの予想される長さを計算する効率的な方法を探しています。より正確には、次の素朴なアプローチは望ましくありません。kkk ∙∙\bullet kノードのすべての組み合わせの正確なパス長を計算し、予想される長さを導き出します。 ∙∙\bullet最小スパニングツリーを使用するという基本的なヒューリスティックを使用して、最大50％のエラーが発生するkノードのすべての組み合わせの概算パス長を計算します。（エラーが少ない、より良いヒューリスティックが役立つ場合があります）

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ノードのグラフがあるとします。各ノードにまたはいずれかを割り当てます。これを構成呼びます。割り当てる必要があるの数は正確に（したがっての数はです。）構成与えられた場合、各ノードを調べ、隣接ノードに割り当てられた値を合計して、次のように呼び出します。 this。次に、が非負であるノードの数をカウントします： nn+1+1−1−1σ∈{+1,−1}n\sigma \in \{+1,−1\}^n+1+1ss−1−1n−sn−sσ\sigmaiiξi(σ)\xi_i(\sigma)ξi(σ)\xi_i(\sigma)N(σ):=∑i=1n1{ξi(σ)≥0}.N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}. 問題は、を最大化する構成は何ですか？さらに重要なことに、s / nの観点から範囲を指定できますか。この問題が誰にも馴染みのあるものに見えるのか、それともグラフ理論の既知の問題に還元できるのか疑問に思っています。それが役立つ場合、グラフはErdős-Renyi型のランダム（たとえば、エッジ確率p〜（\ log n）/ nの G（n、p）、つまり、平均次数が\ log nとして増加する）であると想定できます。主な関心事は、s / n \ in（0,1 / 2）の場合です。σ\sigmaN(σ)N(\sigma)(maxN)/n(\max N)/ns/ns/np (logn)/np ~ (\log n)/nlogn\log ns/n∈(0,1/2)s/n \in (0,1/2)

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編集：この投稿に関連するフォローアップ質問があります。 定義 ましょうcccとkkk整数であるが。我々は、表記法を使用する[ I ] = { 1 、2 、。。。、私}[i]={1,2,...,i}[i] = \{1,2,...,i\}。 c × cc×cc \times c行列M= （m私、j）M=(mi,j)M = (m_{i,j})であると言われているccc -to- kkk着色マトリックス以下が成立する場合： 我々は持っているmi,j∈[k]mi,j∈[k]m_{i,j} \in [k]すべてのためにi,j∈[c]i,j∈[c]i, j \in [c]、 すべてのi,j,ℓ∈[c]i,j,ℓ∈[c]i,j,\ell \in [c]、i≠ji≠ji \ne jとj≠ℓj≠ℓj \ne \ellについて、mi,j≠mj,ℓmi,j≠mj,ℓm_{i,j} \ne m_{j,\ell}ます。 私たちは、書きC ⇝ Kc⇝kc \leadsto kが存在する場合ccc -to-着色行列を。kkk 対角要素は無関係であることに注意してください。非対角要素のみに関心がありMMMます。 次の別の視点が役立つ場合があります。LET R（M、ℓ ）= {mℓ 、私：私≠ ℓ …

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ましょう属の配向コンパクト表面に埋め込まれたグラフであるG埋め込みが携帯されるようになっています。グラフG ∗の双対について考えます。LET C 1及びC 2は、で互いに素サイクルであるG *互いに同位置でありせE 1及びE 2はでそれらの対応するエッジ集合であるGそれぞれ。あるG ∖ （E 1 ∪ E 2）切断されたグラフは？GGGgggG∗G∗G^*C1C1C_1C2C2C_2G∗G∗G^*E1E1E_1E2E2E_2GGGG ∖ （E1∪ E2）G∖(E1∪E2)G \setminus (E_1 \cup E_2)

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追加用に編集：この質問は本質的に回答されました。詳細については、このブログエントリを参照してください。ここにコメントと回答を投稿してくれた皆さんに感謝します。 元の質問 これは、私が MathOverflowで質問した質問の、より賢く、より情報に富んだバージョンです。私がその質問をしたとき、自分の問題があった数学の分野の名前すら知りませんでした。今、それは部分的な単語のアルゴリズム的組み合わせにあると確信しています。（テーマに関する最近の著書こちら。） 字の単語リストを作りたい。各単語の長さは正確にです。取り決めは、がリストにある場合（はワイルドカード/ドントケア記号）がリストに再び表示されることはありません。（場合、または場合に禁止されているサブワードが場合同様です。）K ◊ jは B ◊ ◊ J B = BのJ = 0 Blllkkka◊jba◊jba \lozenge ^j b◊◊\lozengea◊jba◊jba \lozenge ^j ba=ba=ba=bj=0j=0j=0ababab 例えば及び：l = 5k=4k=4k=4l=5l=5l=5 B D C E D C B D C A E E D A ◊ ◊ Dabcdabcdabcd bdcebdcebdce dcbadcbadcba < -があるため禁止上記の行に登場ので禁止- <最初の行に登場dcdcdc aeedaeedaeeda◊◊da◊◊da \lozenge …

9 co.combinatorics 

グラフ列挙の主な問題の1つは、グラフの「形状」、たとえば特定のグラフの同型クラスを決定することです。すべてのグラフが対称行列として表現できることを十分に承知しています。ただし、その形状を取得するには、行/列の順列のコレクションが必要になるため、マトリックスの適性はやや低くなります。また、いったんその形になると、グラフを「見る」のが少し難しくなります。 私の質問は、グラフの「形状」を説明できる「グラフィカル」代数はありますか？ 私が考えているのは、代数的トポロジーがどのような形式のシステムを考え出すのかということです。特に、ノット不変量の代数や、オペラードやポリグラフなどの表記法。この種の「落書き代数」はあまり発達していないので、グラフにはそのような代数が存在しないと信じる理由があるかもしれませんが、そうでないと仮定する前に尋ねたいと思います。 更新： 私の質問はおそらく非常に狭く、すぐに「はい」で答えられないので、モデレーターが気にしない場合は、次のように質問を広げます。 そのようなシステムを作成するために（簡単に、またはその他の方法で）適応できる既存のシステム（上記で説明した種類）はありますか？複数ある場合は、お気軽にお知らせください。そして、すでに述べたものも投入してください。 動機 このような質問に対する私の動機は、実際には非対称グラフを分類することです。私はまだ学部生ではないので、代数グラフ理論の現在の状態の私のレビューはかなり薄いです。しかし、すべてのグラフを代数的な方法で体系的に説明しようとする取り組みがあったとしても、まだまだ多くは見ていません。 そのようなシステムが役立つ実用的な例 すべてのオイラーグラフに次数の頂点がなければならないという証明を記述したいとします。標準証明は通常、使用される実際のエッジに言及せずに、偶数および奇数の程度に関する引数を使用します。典型的な学生はそのような証拠を初めて見つけ、おそらく自分自身の議論を説得しようとしてグラフを描き始めます。しかし、おそらく純粋な「論理」論よりも優れたツールは、そのような言語からの「シンボル」のコレクションが「完全性」の条件を満たさないことを示すことでしょう。 ええ、私は知っています、私はこの最後の部分で手を振っています。もしそうでなければ、おそらく自分でそのようなシステムを作成し始めるでしょう！ しかし、少しあいまいであることを無視すると、グラフ理論の古くからよく知られている定理の多くは難しくはないが、本当に優れたフレームワークが統一されたビューに「結び付く」「パッケージ化できる」という概念を必要とするように感じます。

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星形グラフだけで構成されるグラフあります。星形グラフは、その中の他のすべてのノードへのエッジを持つ1つの中央ノードで構成されます。ましょう中に存在する異なるサイズの異なるスターグラフも。スターグラフ中心であるすべてのノードのセットを呼び出します。H 1、H 2、… 、H n G RGGGH1、H2、… 、HんH1,H2,…,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGGRRR ここで、これらのスターグラフが他のスターグラフのエッジを構築し、ノード間にエッジが発生しないと仮定します。次に、どのように多くのエッジが内のノード間で最大に存在としていないノードグラフが平面のままでなければならない場合、？R RRRRRRRRRR このようなエッジの数の上限が必要です。私が念頭に置いている1つの上限は、が頂点の1つのセットであり、残りの頂点が別のセット形成する2つの部分からなる平面グラフと見なすことです。これらのセット（と）間のエッジに関心があります。これは平面の2つの部分からなるため、そのようなエッジの数はのノード数の2倍に制限されます。A R A GRRRあAARRRあAAGGG 私が感じるのは、より良い境界があるということです。おそらくのノードの2倍とのノードの数です。RあAARRR 私の直感を反証できる場合は、それも良いでしょう。うまくいけば、あなたの何人かは、いくつかの関連する議論とともに良い限界を思い付くことができます。

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ファリーの定理によれば、単純な平面グラフは交差せずに描画できるため、各エッジは直線セグメントになります。 私の質問は、有界交差数のグラフに類似の定理があるかどうかです。具体的には、交差数kの単純なグラフを描画して、図面にk個の交差が存在し、各エッジがいくつかの関数fに対して最大でf（k）の次数の曲線になるようにできると言えますか？ 編集：デビッド・エップスタインが述べているように、ファリーの定理は交差数kのグラフの描画を意味するため、各エッジは最大でkのベンドを持つポリゴンチェーンになります。各エッジを有界次数曲線で描画できるかどうかはまだ知りたいです。Hsien-Chih Changは、kが0、1、2、3の場合はf（k）= 1、それ以外の場合はf（k）> 1であると指摘しています。

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Hsien-Chih Changによって解決された私の以前の質問のフォローアップとして、ラムジーの定理の適切な一般化を見つけるための別の試みを次に示します。（前の質問を読む必要はありません。この投稿は自己完結型です。） パラメータ：整数が指定され、次にが十分に大きくなるように選択されます。用語：サブセットは、サイズサブセットです。N M M1 « D« K « N1≪d≪k≪n1 \ll d \ll k \ll nNNNメートルmmメートルmm LET。各サブセットに対して、色割り当てます。K S ⊂ BのF （S ）∈ { 0 、1 }B = { 1 、2 、。。。、N}B={1,2,...,N}B = \{1,2,...,N\}kkkS⊂ BS⊂BS \subset Bf（S）∈ { 0 、1 }f(S)∈{0,1}f(S) \in \{0,1\} 定義： F （S ）= F （S '）K S …

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完全な二部グラフのpathwidthサイズの分かれたセットと及び最大である。次のプロセスでこのグラフを平坦化することに興味があります。K3,nK3,nK_{3,n}333nnn333 エッジがその内部に頂点を含まないように、また任意のポイントで2つ以下のエッジが交差するように、平面に描画します。 2つのエッジのすべての交差点を次数4の新しい頂点で置き換えます。 次に、結果のグラフは明らかに平面です。一方で定数pathwidthを持っている、いくつかの予備調査は関係なく、あなたが平坦化するために使用描くことを示唆している、あなたが平坦化されたグラフは、一定のpathwidthの独立していることを保証することはできません、平坦化されたグラフのパス幅は、とともに増加する必要があると思います。これは既知ですか、それとも既存の結果によって暗示されますか？K3,nK3,nK_{3,n}K3,nK3,nK_{3,n}nnnnnn 一方、一定の次数と制限されたパス幅の一連のグラフがあります。これは、パス幅を定数より大きくすることなく平坦化できます。これは有界次数とパス幅のグラフで常に可能であるという一般的な結果はありますか？

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