問題をカバーする最小パス

私たちは分散型コンピュータで作業しており、最小のパスカバリング問題に帰着する複雑さの問題を思いつきました。現在のところ、解決方法はわかりません。問題は次のとおりです。

ましょうある整数であり、およびlet含むグラフであるの頂点を。ようなカップル各頂点にラベルを付けます。以下では、頂点にラベルを使用して名前を付けます。のエッジのセットは次のように定義されます： 。$k$$Z_k$$\frac{k(k+1)}{2}$$(i,j)$$1 \leq i \leq j \leq k$$Z_k$$\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

最小パスカバリングはですか？$Z_k$

Ntafosらによる「ダイグラフのパスカバー問題とプログラムテストへの適用」を読んでください。、最小パスカバーが最大の比較不可能な頂点セットの基数に等しいことを確認しました。次のセットについて考えていました： これは基数を持ちます。$S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$$\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

今後ともよろしくお願いいたします。

ピエール

グラフは推移的に閉じたDAGのようですね？もしそうなら（そしてこれはおそらくあなたがNtafosらの引用であなたが言ったことの言い直しであろう）、DAGをカバーするために必要なパスの最小数は、ペアワイズの比較不可能な要素の最大数です。これはディルワースの定理です。

あなたの例は、この最大の比較不可能なセットを直接識別できるほど単純であるかもしれませんが、一般に、グラフマッチングに基づくアルゴリズムによって、このセットを多項式時間で見つけることが可能です。ディルワースの定理に関するWikipediaの記事の「Proof viaKönig's theorem」セクションでは、その方法について説明しています。