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この質問に対する答えは、すべての多項式、 サイズp （n ）の回路を持たないクラスに問題があるようなクラスを与えると思います。 ただ、回路規模ωについてお伺いしますpppp （n ）p(n)p(n)。ω（n ）ω(n)\omega \hspace{.02 in}(n) （⟨00、11、22、３1、44、51、66、71、88、91、。。。⟩(⟨00,11,22,31,44,51,66,71,88,91,...⟩\big(\hspace{-0.07 in}\left\langle \hspace{-0.04 in}0^{\hspace{.02 in}0}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.04 in}1^{\hspace{-0.03 in}1}\hspace{-0.03 in},2^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}3^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}4^4\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}5^1\hspace{-0.04 in},\hspace{-0.03 in}6^{\hspace{.03 in}6}\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}7^1\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}8^8\hspace{-0.03 in},\hspace{-0.03 in}9^1\hspace{-0.03 in},...\hspace{-0.05 in}\right\rangle \:超線形ですがωではありません。 このような偶奇動作はパディングで処理できますが、代わりに 、低い値の間の超多項式値の非常に長いストリークが発生する場合があります。）ω（n ）ω(n)\omega \hspace{.02 in}(n)

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我々は、ブール関数を持っていると言うと我々が適用δ -randomに制限Fを。さらに、ランダムな制限の結果として、fを計算する決定木TがサイズO （1 ）に縮小するとします。これはfの影響が非常に低いことを意味しますか？f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}δδ\deltafffTTTfffO(1)O(1)O(1)fff

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2つのnビット整数を乗算する回路のゲート数の最良の結果は何ですか？ 明らかな方法は、ゲートを生成します。およびゲートを使用したより良いアプローチがあり。θ(n2)θ(n2)\theta(n^2)θ(nlognloglogn)θ(nlog⁡nlog⁡log⁡n)\theta(n\log n \log\log n)θ(nlogん2log∗（n ））θ(んログ⁡ん2ログ∗⁡（ん））\theta(n\log n2^{\log^*(n)}) ゲートの乗算を処理できるブール回路ファミリは見つかりませんでした。そのような回路のファミリーは存在するのだろうか。んlogんんログ⁡んn\log n

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ましょうのためのという約束と、（合計が超えている場合）。次に、かどうかを判断する複雑さは何ですか？I ∈ { 1 、... 、N } 、X = Σ N iが= 1、X I ∈ { 0 、1 } Z、X = 1xi∈{−1,0,+1}xi∈{−1,0,+1}x_i \in \{-1,0,+1\}i∈{1,…,n}i∈{1,…,n}i \in \{1,\ldots,n\}x=∑ni=1xi∈{0,1}x=∑i=1nxi∈{0,1}x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}ZZ\mathbb{Z}x=1x=1x = 1 iff x = 1であるため、問題はことにご注意ください。質問です：問題は \ mathsf {AC} ^ 0にありますか？もしそうなら、これを目撃している回路は何ですか？そうでない場合、どのようにこれを証明しますか？∩m≥2AC0[m]∩m≥2AC0[m]\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}x≡1modmx≡1modmx \equiv 1\bmod{m}A C 0x=1x=1x = 1AC0AC0\mathsf{AC}^0

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Berkowitzアルゴリズムは、行列のべき乗を使用して正方行列の行列式の対数深度を持つ多項式サイズ回路を提供します。アルゴリズムは暗黙的にキャンセルを使用します。行列式を計算するために対数または線形の深さをもつ多項式サイズの回路を達成するためにキャンセルは不可欠ですか？キャンセルなしの回路を使用したこれらの問題には、完全に指数関数的な（超多項式やサブ指数関数だけでなく）下限がありますか？

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私の質問は有限モデル理論/記述的複雑さに関するものなので、は「有限のバイナリワードに対する1次、述語Rsと単項述語Pを単語の1の位置で使用」を意味します。FO （R ）FO（R）FO(R) 私は知りたいのですが、いくつかのrのにRの述語がある特性化はありますか？たとえば、FO（&lt;、+）またはFO（&lt;、P_2）の場合、P_2は2の累乗のセットです。特に、一定の条件でAC ^ 0に等しいはずですが、このことを示す結果は見つかりません。N r F O （&lt; 、+ ）FO （&lt; 、R ）FO（&lt;、R）FO(<,R)NrNr\mathbb N^rFO （&lt;,+)FO(&lt;,+）FO(<,+)FO(&lt;,P2)FO(&lt;,P2)FO(<,P_2)P2P2P_2AC0AC0AC^0 これは、Rの値について、すでに知っていることですRRR。 FO(&lt;,bit)FO(&lt;,bit)FO(<,bit)は、順序とビット述語を持つワードの最初の順序ロジックであり、AC0AC0AC^0 - FO(&lt;,bit)FO(&lt;,bit)FO(<,bit)均一であることはよく知られています。これにより、両者はまったく同じ言語を認識します。たとえば、82ページのイマーマンの「記述的複雑さ」を参照してください。（これは、AC0AC0AC^0 -logtimeユニフォーム、一定時間のパラレルランダムアクセスマシンなど、他の多くの特性とも同じですが、私がそうではありません。ここで検索します。） 一次論理で任意の数値述語を使用できる場合、AC0AC0AC^0（均一でない）が得られますCCCが対数時間計算可能関数を含む関数のクラスである場合、FO(&lt;,C)FO(&lt;,C)FO(<,C)はACと等しくなります。^ 0-CAC0−CAC0−CAC^0-C -uniform（これら2つの結果については、Barrington、「Extensions of a Idea of​​ Mc-Naughton」、1993を参照）。 最後に、FO(&lt;)FO(&lt;）FO(<)はスターフリー言語（Kleeneスターを使用しない正規表現で定義できる言語）のクラスですが、回路の複雑さに関する情報はありません。

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DLOGTIMEはhttp://en.wikipedia.org/wiki/DLOGTIME で定義されていますhttp://en.wikipedia.org/wiki/L_%28complexity%29および定義されていはhttp://en.wikipedia.org/wiki/NC_%28complexity%29で定義されています NC NC nLL\operatorname{L} NCNC\operatorname{NC}NCんNCn\operatorname{NC}^n DLOGTIMEは、機能する可能性のある最小サイズのようです。 私は様々な場所で読んだ、すべての場所が私をしましたが、 均一条件の用途を述べて結果ことが判明 -均一。 任意の決定論的クラスが存在するようで知られている -uniform、及び 1...保持することが知られていますか？ 2....L ⊆ NC2L⊆NC2\, \operatorname{L} \subseteq \operatorname{NC}^2 \,\,XLL\operatorname{L}バツXXL ⊆ NCL⊆NC\, \operatorname{L} \subseteq \operatorname{NC} \,NCバツXXNCNC\operatorname{NC}\;バツ⊂ LX⊂L\; X\subset \operatorname{L} \;\;バツ⊆ LX⊆L\; X\subseteq \operatorname{L} \;保持することがわかっており、保持することが不明ですか？バツ= LX=L\, X = \operatorname{L} \, （1、またははるかに少ない2は、均一性が正しい条件であることを意味するように思われます）LL\operatorname{L}

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最近、Craig Gentryは完全に準同型である最初の公開鍵暗号化スキーム（平文空間{0,1}を介して）を公開しました。つまり、秘密の復号鍵を知らなくても、暗号化された平文のANDおよびXORを効率的かつコンパクトに評価できます。 この公開キー暗号システムをしきい値の公開キー暗号システムに変換して、誰でも暗号化、AND、XORできる明白な方法があるかどうか疑問に思っていますが、復号化は、キーを共有している一部（すべて）の人々が協力する場合にのみ可能です。 私はその主題についてのアイデアに興味があります。 前もって感謝します fw

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この結果 Tavenas、Koiran等によっては、サイズの回路によって計算された任意の多項式ことを示しsss大きさの深さ4均質回路によって計算され、sd√sds^{\sqrt{d}}。 ブール回路について同様の結果はありますか、またはそのようなことが不可能である理由を知っていますか？

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小さい入力サイズ素数やグラフ同型などの古典的な決定問題の回路の複雑さを調べた人はいますか？NNN ほとんどの人はスケーリングがとしてどのように行われるかに興味がありますが、これが小さなNに対してどのように成長するかを見るのも興味深いと思います。入力が大きくなり、別のアルゴリズムがより効率的になるため、グラフが成長し、グラフの成長率が急激に変化する場合もあります。N→∞N→∞N \to \infty 誰かが一連の回路から一般的なアルゴリズムを抽出する可能性も（ありそうにありません）さえあります。 このアプローチは、通常N → ∞について尋ねられるのとは異なる質問に答えることができるようです。アルゴリズムの知識（SATソルバーなど）とスーパーコンピューティング能力の進歩により、小さなNに対して具体的な答えを得ることができました。N→∞N→∞N \to \inftyNNN 小さな決定問題の回路の複雑さを明示的に計算する人々のための参照または結果のリストはありますか？NNN これに取り組んでいる人がいる場合、最小限の回路問題を解決するために現在どのアルゴリズムを使用していますか（ブール関数とゲートのセットが与えられ、必要な最小限のゲート数を使用して回路を出力します）？

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時間階層定理は、たとえば、チューリングマシンではconst * n ^ 2よりも短い時間で解決できない問題がPにあることを示します。しかし、チューリングマシンにいくつかのアドバイスを与えると、すべての賭けはオフになります。線形サイズの回路でさえ、すべてのPSPACEを解決できないことをまだ示すことはできません。それでは、両方にアドバイスがある2つの異なるクラスを比較するとどうなるでしょうか。たとえば、対数アドバイスを含む多項式空間を、線形アドバイスを含む線形時間から分離できますか？これは単なる問題の例です。これらの線に沿ってどのような一般的な結果があるのでしょうか。

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ウィキペディアから： VPVP\mathsf{VP} f K：クラスVPは、Pの代数的類似体です。 固定体上の多項式サイズ回路を持つ多項式次数の多項式のクラスです。fffKKK VNPVNP\mathsf{VNP} f f：クラスVNPはNPの類似物です。VNPは多項式次数の多項式のクラスと考えることができ、単項式が与えられると、多項式サイズの回路で係数を効率的に決定できます。ffffff 量子回路を使用して多項式を実装する試みがありました。arXiv：1805.12445。それで、対問題の量子アナログは存在しますか？このトピックに関する論文はありますか？fffV P V N PVPVP\mathsf{VP}VNPVNP\mathsf{VNP} PS：私は、Quantum Computingサイトで非常に関連する質問をしました。

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SavickýとWoods（与えられたサイズの式によって計算されるブール関数の数）は、次の結果を証明します。 定理[SW98]：すべての定数についてk &gt; 1k&gt;1k>1、式の複雑度が最大でであるほとんどすべてのブール関数はんknkn^k、少なくとも回路複雑度を持ちんk/ knk/kn^k/kます。 証明は、下限、つまりサイズn kの式で計算されたn入力のブール関数の数を導出することで構成されます。B （n 、n k）をサイズC = n k / kの回路の数（最大でC C e C + 4 n）と比較すると、大きなnの場合、C C e C + 4B （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)んnnんknkn^kB （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)C= nk/ kC=nk/kC = n^k/kCCeC+ 4 nCCeC+4nC^{C}e^{C+4n}んnn、および結果は以下の通りです。CCeC+ 4 n&lt; &lt; B （N 、Nk）CCeC+4n&lt;&lt;B(n,nk)C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k) それは、結果はサイズの非決定論的な回路の数ということに注目することによって強化することができることを私に見えるとメートル非決定的入力はサイズの決定論的回路の数よりもはるかに大きくないのn のkについて（メートル大きすぎない、と言うメートル= n）。したがって、次の結果が成り立つと思います。んknkn^kメートルmmんknkn^kメートルmmm = nm=nm=n 結果：すべての定数について、式の複雑度が最大でn …

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論文「多数関数の単調回路」に示されているように、サイズO（n ^ 3）および深さ5.3 log（n）+ O（1）のn個の変数で多数関数の単調ブール回路を構築できます。 http://link.springer.com/chapter/10.1007/11830924_38 私の質問は、そのような解釈の時間の複雑さは何ですか？（すなわち、単項でnが与えられた場合、回路を構築するのに必要な時間）

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[1]には、 「それは、内のすべての関数か否かの未解決の問題のまま有するT C 0（少なくともしないすべてことが知られているが回路＃1 Pの関数はDLogTime均一有するT C 0回路）。」＃P#P\#PTC0TC0TC^0＃P#P\#PTC0TC0TC^0 DLogTime関数によって生成された回路が含まれていない＃Pを。あれば私たちは知っていない T C 0任意の関数によって生成された回路が含まれていません＃Pを。TC0TC0TC^0＃P#P\#PTC0TC0TC^0#P#P\#P これらの2つの間のケースについて何か既知のものはありますか？場合などは、それが知られているによって生成回路Lが含まれていない＃Pを？TC0TC0TC^0LLL#P#P\#P [1] Agarwal、Allender、およびDatta、「On 、A C 0、および算術回路」TC0TC0TC^0AC0AC0AC^0

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