問題の正確な複雑さ

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ましょうのためのという約束と、（合計が超えている場合）。次に、かどうかを判断する複雑さは何ですか？ $x_i \in \{-1,0,+1\}$ $i \in \{1,\ldots,n\}$ $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ $\mathbb{Z}$ $x = 1$

iff ため、問題はことにご注意ください。質問です：問題はますか？もしそうなら、これを目撃している回路は何ですか？そうでない場合、どのようにこれを証明しますか？ $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ $x \equiv 1\bmod{m}$ $x = 1$ $\mathsf{AC}^0$

— SamiD
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この問題はささいなことかもしれませんが、私は答えを知りませんし、それを知ることに非常に興味があります。

— SamiD 2013年

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通常のスイッチング補題引数を使用できます。入力をバイナリで表す方法については説明していませんが、適切なエンコーディングでは、次の関数はACあり、関数と同等です：（は偶数であると仮定します。）これらの講義ノートに従って、はサイズ深さ回路で計算できると仮定します。次に、入力のランダムな制限により、決定木複雑度の関数が最大で残ります $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ 少なくとも確率。計算はおそらくこれが確率で（より小さな入力サイズで）別のインスタンスであることを示すため、で両方のインスタンスを生成するランダムな制限があります入力と、決定木の複雑さが一定の関数。矛盾を引き起こします。同じ引数が指数の下限をもたらすはずです。

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— ユヴァルフィルムス
ソース

この関数の感度の合計もになると思うので、これを使用して、私の答えの指数の下限を取得できます。そこで引用した結果は、Linial-Mansour-Nisanの定理を使用しています。この定理自体は、決定木の複雑さが低い関数のスペクトルにスイッチングレンマと単純な境界を使用しています。

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Sasho Nikolov 2013

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これはAC0にあるとは思わず、場合、とを区別するという関連する約束問題の下限を示すことができます。同様のフーリエ手法があなたの問題に適用されるはずですが、私はそれを確認していません。または多分単純な削減があります。 $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

サイズがあると仮定する深さ関数計算回路、その結果たび。なぜならランダムため、確率ある、及びそのような各のためにがある値を変更座標、合計影響ある $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ 、これは過半数とほぼ同じです（過半数の機密入力のほとんどを含めたため）。ハスタッドの定理（Ryan O'Donnelのノートの Colorraly 2.5を参照）により、これは

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— サショニコロフ
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