乗算のゲート数が最も少ない

2つのnビット整数を乗算する回路のゲート数の最良の結果は何ですか？

明らかな方法は、ゲートを生成します。およびゲートを使用したより良いアプローチがあり。 $\theta(n^2)$ $\theta(n\log n \log\log n)$ $\theta(n\log n2^{\log^*(n)})$

ゲートの乗算を処理できるブール回路ファミリは見つかりませんでした。そのような回路のファミリーは存在するのだろうか。 $n\log n$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— アミール
ソース

あなたは算術回路またはブール回路を探していますか？

— Suresh Venkat 2014年

ブール回路を探しています。

— アミール

レコードの

アルゴリズムとは何ですか？それだけ多くのゲートを使わないのですか？

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— vzn 2014年

@vznいいえ、Martin Fuererのアルゴリズムは最もよく知られており、

ゲートを持つ回路を提供し

。Schonhage-Strassenは、実際には非常に大きな数の一部のコンピュータ代数システムで使用されています。

O (n \log n 2^{\log^{*} n})

$O(n\log n 2^{\log^* n})$

— Sasho Nikolov、2014

TMを回路に変換するためのオーバーヘッドがいくつかあります。時間

アルゴリズムドアは、

ゲートを持つ回路を与えません。一般的な変換は、回路値の問題の回路の複雑さよりも優れていることはできません。一方、逆方向にもオーバーヘッドがあるため、最良の均一な複雑さは回路の複雑さの下限を意味しません。つまり、実行中のTMがない場合でもサイズ

回路が存在する可能性があります。乗算の時間。

t (n)

$t(n)$

t (n)

$t(n)$

O (n \lg n)

$O(n\lg n)$

— Kaveh

以下は、質問のコメントで議論されたアルゴリズム（Schönhage–Strassenアルゴリズムと Fuererアルゴリズム、調査の335ページを参照）。ただし、実装は別の問題であり、これらのアルゴリズムの一部は実用的とは見なされない場合があります。調査は実際的な実装をカバーしていません。調査には、多項式、べき級数、実数、および2進数のアルゴリズムが含まれますが、整数はこれらの特殊なケースです（336ページの図1を参照）。 $O(n\log n \, 2^{\log^* n})$

高速乗算とその応用、バーンスタイン（アルゴリズム数論/ MSRI出版物/ボリューム44、2008）

— vzn
ソース

リンクされた論文には335または336ページがありません。おそらく別のファイルにリンクするつもりでしたか？

— argentpepper 2014年

おっとっと！チップのthx。上記のバージョンはドラフトとしてマークされています。引用されたpg #sを含むこのバージョンはおそらく最終版ですか？

— vzn 2014年

@vzn：

$\:$ その論文でさえ、

周りに大きなOがあり

。

\log^{*} (n)

$\log^*(n)$

$\;\;\;\;$