理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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単調関数を計算するために必要な否定の数は？
Razborovは、単調関数マッチングがmPにないことを証明しました。しかし、いくつかの否定を持つ多項式サイズの回路を使用してマッチングを計算できますか？マッチングを計算するO （nϵ）O(nϵ)O(n^\epsilon)否定を持つP / poly回路はありますか？否定の数とマッチングのサイズの間のトレードオフは何ですか？
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対角の無限グラフは無限成分を持っていますか？
我々はポイント接続と仮定無向エッジの集合用いいずれかのようにに接続されている、又はに接続されている独立に、均一にランダムにすべてのために、。（i + 1 、j ）（i 、j + 1 ）i 、jV= Z2V=Z2V = \mathbb{Z}^2EEE（i 、j ）(i,j）(i, j)（ i + 1 、j + 1 ）（私+1、j+1）(i + 1, j + 1)（i + 1 、j ）（私+1、j）(i + 1, j)（i 、j + 1 ）（私、j+1）(i, j + 1)i 、j私、ji, j （この本のタイトルと表紙に触発されました。） このグラフが無限に大きい連結成分を持つ確率はどのくらいですか？同様に、グラフの平面埋め込みの補数である考えてください。補数に無限の連結成分がある確率はどのくらいですか？R2∖ GR2∖G\mathbb{R}^2 \setminus G 明らかに、すべての対角線が同じ方向を指している場合、グラフとその補数の両方に無限の成分があります。上記のような一様なランダムグラフはどうですか？
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DAGのすべての長いstパスを破棄するのにどれくらいの費用がかかりますか？
1つのソースノードsssと1つのターゲットノード持つDAG（有向非巡回グラフ）を考えますttt。同じ頂点のペアを結合する平行なエッジが許可されます。kkk - カットが除去全て破壊辺の集合でありsss - tttパスよりも長いkkk。短いsss - tttパスと長い「内部」パス（sssと間ではないttt）は生き残ることができます！ 質問：kより長いすべてのs - tパスを破壊するために、DAGからエッジの 最大で約1 / k1/k1/k部分を削除するだけで十分ですか？ ssstttkkk つまり、e （G ）e(G)e(G)がのエッジの総数を示す場合GGG、すべてのDAG GGGは最大で約e （G ）/ kエッジのkkkカットがありますか？2つの例：e （G ）/ ke(G)/ke(G)/k 場合、すべての sss - tttパスの長さ持っ> k>k> k、その後、kkkとの留分≤ E （G ）/ K≤e(G)/k\leq e(G)/kエッジが存在します。これは、kkk独立したkkkカットが存在する必要があるためです。ソースノードsからの距離に従ってのノードをレイヤー化するだけです。 GGGsss場合G = TnG=TnG=T_nある推移トーナメント（完全DAG）、その後もA kkk留分と エッジが存在する：修正 トポロジカル順序をノードの場合、ノードを長さ連続した間隔に分割し 、同じ間隔のノードを結合するすべてのエッジを削除します。これは、kより長いすべて -パスを破壊します。 ≤ K （ N / K2） ≈E（G）/K≤k(n/k2)≈e(G)/k\leq …
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#Pを超え、検索の問題を数える
私は、8人の女王の問題に関するウィキペディアの記事を読んでいました。正確な解の数についての公式は知られていないと述べられています。いくつかの検索の後、「完全なマッピングのカウント問題の難易度について」という名前の論文を見つけました。このペーパーでは、最大で#queensと同じくらい難しいことが示されている問題があります。これは#Pを超えています。ウィキペディアの記事で徹底的に数えられた#queenの数を垣間見ると、彼らは非常に指数関数的に見えます。 このクラスの名前があるかどうか、または一般的に#Pを超えるクラスに属するカウントの問題があるかどうかを尋ねたいと思います（もちろんPSPACEにはないので、決定は明らかです）。 最後に、たとえばSpernerの補題で3色の点を見つける（PPAD完了）など、他の検索問題について他の既知の結果があるかどうかを確認します。
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Renyiエントロピーの効用？
私たちのほとんどは、ランダム変数のシャノンエントロピー、および関連するすべての情報エントロピーなどの情報理論的尺度に精通している-または少なくとも聞いたことがある- 相互情報など。ランダム変数の最小エントロピーなど、理論的なコンピューターサイエンスや情報理論で一般的に使用されるエントロピーの他の測定値がいくつかあります。H(X)=−E[logp(X)]H(X)=−E[log⁡p(X)]H(X) = -\mathbb{E} \bigl[ \log p(X)\bigr] 文献を閲覧するにつれて、これらのいわゆるRenyiエントロピーがより頻繁に見られるようになりました。それらはシャノンのエントロピーと最小エントロピーを一般化し、実際にはランダム変数のエントロピー測定の全スペクトルを提供します。私は主に量子情報の領域で働いており、そこではレーニエントロピーの量子バージョンもかなり頻繁に考慮されています。 私が本当に理解していないのは、なぜそれらが役立つのかということです。シャノン/フォンノイマンエントロピーや最小エントロピーと言うよりも、分析的に扱うほうが簡単だとよく耳にします。しかし、それらはシャノンのエントロピー/最小エントロピーにも関連している可能性があります。 Renyiエントロピーを使用することが「正しいこと」である場合の例（古典的または量子）を提供できますか？私が探しているのは、Renyiエントロピーをいつ使用したいかを知るための「メンタルフック」または「テンプレート」です。 ありがとう！
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キャッシュアルゴリズム理論の最新技術とは何ですか？
私は最近、複数の種類のメモリが使用可能で、特定のメモリセグメントの容量とそれにアクセスする速度の間でトレードオフがある状況でメモリ使用量を最適化する一般的な問題に興味を持ちました。 身近な例では、を決めるのプログラムですから読み取る / に書き込みプロセッサキャッシュ、RAMおよび（仮想メモリを介して）ハードドライブ。 ロードする必要があるデータの量（プログラム自体を含む）が、利用可能な最速のストレージの容量を大幅に超える特別なケースに特に興味があります（つまり、「すべてをロードする」という些細な解決策は適用できません）。 いくつかの一般的なキャッシュアルゴリズムを説明するウィキペディアのページを見つけました。残念ながら、これらは少し低レベルです。 LRUやMRUなどの多くは、何度もアクセスされるサブルーチンがある場合にのみ意味があります。多数のサブルーチンを含むプログラムがあり、その一部は特定の実行でアクセスされず、一部は1回または2回アクセスされる場合、この戦略は何に関するデータを十分に構築できないため機能しません一般的に使用され、そうでないもの。 CLOCKなどのその他のものは、実際に問題の根本を攻撃するのではなく、実装の特性に対処しているようです。 テスト実行中に最初にプログラムのプロファイルを作成し、次にオペレーティングシステムのプロファイルを提供して、それに応じて最適化する戦略があることを知っています。ただし、プロファイルを作成する際に、真に代表的な「使用例」を提供するという問題を解決する必要があります。 私が本当に学びたいのはこれです：ハードウェアとソフトウェアのすべての技術を抽象化し、純粋に理論的な文脈で話すとき、アルゴリズムの構造を何らかの方法で分析し、効果的なキャッシュ戦略を立てることが可能ですか？アルゴリズムが何をしているかの高レベルの理解に基づいていますか？
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ナッシュ均衡の計算限界バージョン？
ナッシュ均衡の概念の計算的に制限されたバージョンがあるかどうか、私は疑問に思っています。 ボードでプレイされ、最適なプレイがEXPTIMEハードであるという意味で複雑な、2種類の完全な情報ゲームを想像してください。また、簡単にするために、描画ができないと仮定します。このゲームを互いにプレイしているランダム化された多項式時間チューリングマシンのペアを想像してください。ごとに、を、ゲームでがに勝つ確率とします。（具体的には、が最初に確率0.5でプレイするとします。）クールだと思うのは、ペア存在を証明できればn × nn×nn\times n（A 、B ）(A,B)(A, B)nnnpA 、B（n ）pA、B（n）p_{A,B}(n)AAABBBnnnAAA（A 、B ）（A、B）(A,B)ランダム化された多項式時間チューリングマシンが支配しないという性質（「が支配」は、すべての十分に大きいを） 、同様にランダム化された多項式時間チューリングマシンは支配しません（「は支配します」は、すべての十分に大きいを）。 A A ' A p A '、B（n ）> p A 、B（n ）n B ' B B ' B p A 、B '（n ）< p A 、B（n ）nA′A′A' AAAA′A′A'AAApA′、B（n ）> pA 、B（n ）pA′、B（n）>pA、B（n）p_{A',B}(n) > p_{A,B}(n)nnnB′B′B'BBBB′B′B'BBBpA 、B′（n ）< pA …
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コルモゴロフの理論の複雑さの比較
Chaitinの不完全性定理は、算術の無十分に強い理論が証明できると言う、文字列のコルモゴロフ複雑であると十分に大きい定数です。は、プルーフチェックマシン（PCM）のビット単位のサイズよりも大きい場合、十分に大きくなります。理論のPCMは、整数としてエンコードされた文字列を入力として受け取り、文字列がの言語で有効な証明である場合は1を出力します。K （s ）s L LK（s ）> LK(s)>LK(s) > LK（s ）K(s)K(s)sssLLLLLLTTTTTTT と仮定します 理論のために複雑の上限である。次の理論の階層を考えてみましょう。基本理論をロビンソン算術（）とします。増補多項式有界誘導のますます強い公理と。してみましょうと証明可能な定理の理論も及びこれらの有界誘導公理のいずれか。各理論のPCMを定義することにより、とを定義できると仮定します。T TL （T）> | PCMT|L(T)>|PCMT|L(T) > |PCM_T|TTTTTTQ Q ∗ Q L （Q ）L （Q ∗）QQQQQQQ∗Q∗Q^*QQQL （Q ）L(Q)L(Q)L （Q∗）L(Q∗)L({Q^*}) 拡張されたプルーフチェックマシン（EPCM）を検討したいと思います。このEPCMは、ECMと同様に入力として文字列を受け取り、サブ理論のランクとレベルを定義する2番目の入力を持ちます。入力文字列が有効な証明である場合、EPCMは証明のステップを実行して、使用される誘導の最高ランクとレベルを決定します。このEPCMは、入力文が指定されたサブ理論で有効な証明である場合、1を書き込みます。Q ∗ Q ∗ Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* 説明した拡張プルーフチェッカーは実行可能ですか？もしそうなら、このEPCMの大きさは、上の複雑さのためだけではないバインドされるだろう、だけでなく、上位のいずれかのサブ理論の複雑さにバインド？Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^* とそのすべてのサブ理論の複雑さに一定の上限があると言うのは合理的ですか？Q∗Q∗Q^* この問題は、算術の矛盾のネルソンの失敗した証拠によって引き起こされました。一部の人々はその証拠が邪魔だと思うので、私は以前これを指摘しませんでした。私の動機は興味深い質問をすることです。CSTheoryは、この質問にふさわしいフォーラムのようです。とそのすべてのサブ理論の複雑さは、定数によって制限されるか、制限されません。どちらの答えもより多くの質問につながります。Q∗Q∗Q^* サブ理論の複雑さが無制限であれば、私たちは最も弱いのサブ理論である何のような質問尋ねることができるよりも複雑？またはPAやZFCよりも複雑ですか？この質問について考えると、ストリングのコルモゴロフの複雑さについて理論が証明できる範囲には厳しい限界があることがすでに示されています。場合証明することができ、そのサブ理論の一貫その後、いずれでもない任意の文字列のためには。これは、より強い理論がよりも複雑である非常に弱い部分理論よりも複雑なストリングがあることを、本当に強い部分理論でさえ証明できないことを意味します。Q ∗ Q ∗ K （s ）> L （Q ∗）Q ∗Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*Q∗Q∗Q^*K（s …
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代数的複雑さを学ぶためのコース
代数アルゴリズムと複雑性理論について学びたいです。特に、PITに興味があります。 Sipserの本やArora-Barakの複雑さの教科書のような理論に関する標準的な教科書を読んだ学生向けの講義ノート、書籍、論文、調査のセットはありますか。 参照のセットには、最近の高度な結果が含まれます。
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PSPACEの完全性は近似硬度を意味しますか？
PSPACEの完全性はAPXの難しさを意味するという別のcstheorySE投稿のコメントで言及されています。誰でもそれについてのリファレンスを説明/共有できますか？ これは「きつい」ですか？（つまり、最適化問題がポリタイムで定数因子近似を認めるPSPACE完全問題はありますか？） あるレベルのPHの完全性についてはどうですか？近似硬度を意味しますか？
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有限言語のXORオートマトン（NXA）はサイクルの恩恵を受けますか？
非決定的Xorオートマトン（NXA）は構文的にはNFAですが、（NFAの場合は少なくとも1つの受け入れパスではなく）受け入れパスの数が奇数の場合、NXAによって単語が受け入れられると言われます。 有限の正規言語には、サイクルを含まない最小限のNFAが存在することは容易にわかります（サイクルが初期状態から到達可能であり、それから受け入れ状態に移行する場合-言語はそうではありません）有限の）。LLL これは必ずしもNXAの場合ではありません。 表す XOR状態の複雑言語の、Lx s c （L ）バツsc（L）xsc(L)LLL そして、によっての非環式XOR状態複雑（受け入れる最小の非環式NXAの大きさ、すなわち）。L La x s c （L ）aバツsc（L）axsc(L)LLLLLL それはすべての有限の言語のためというのは本当です：a x s c （L ）= x s c （L ）？LLLa x s c （L ）= x s c （L ）？ aバツsc（L）=バツsc（L） ？axsc(L)=xsc(L)\ ?
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プログラミング言語で構文と意味のメソッドを厳密に区別できますか？
強力な正規化の証明について説明しますが、このコメントでは「通常のフォームモデル」と「純粋に構文的な方法」を比較しています。 これにより、より基本的な質問に戻ります。構文ベースのモデルに直面して、構文と意味の構造を厳密に区別できますか？代数の項モデル、一次論理のヘンキンモデルはどうですか？構造的な操作上のセマンティクスはどうですか？用語モデルは構文と同型である可能性があるため、明確な区別をするのは難しいようです。 論理の証明理論とモデル理論の違いを研究するまで、「静的型システムは構文的方法である」という考えに困惑さえしました。結局、型システムは型について推論します。これは、プログラムの動作を抽象化したものです（依存型の場合、任意に正確な型です）。
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最長のトレイルの問題は、最長のパスの問題よりも簡単ですか？
最長パスの問題はNPハードです。（典型的？）証明は、ハミルトニアンパス問題（NP完全）の縮小に依存しています。ここでは、パスは（ノード）シンプルであることに注意してください。つまり、パス内で頂点を複数回使用することはできません。したがって、明らかにエッジシンプルでもあります（パスでエッジが複数回発生することはありません）。 それでは、（ノード）シンプルパスを見つける要件を破棄し、エッジシンプルパス（トレイル）を見つけることに固執する場合はどうでしょう。一見、オイラーの小道を見つけることはハミルトニアンの道を見つけることよりもはるかに簡単なので、最長の道を見つけることは最長の道を見つけることよりも簡単であるという希望があるかもしれません。ただし、アルゴリズムを提供するものは言うまでもなく、これを証明する参考文献は見つかりません。 ここで行われた引数を知っていることに注意してください：https : //stackoverflow.com/questions/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph ただし、引数これは、異なるグラフでノード単純なケースを解くことでエッジ単純なケースを解決できることを基本的に示しているため、現在の形式には欠陥があるようです（削減は間違った方法です）。他の方法でも機能するように削減を簡単に変更できるかどうかは明らかではありません。（それでも、少なくとも最長の問題は最長の問題より難しくないことを示しています。） 最長のトレイル（エッジシンプルパス）を見つけるための既知の結果はありますか？複雑さ（クラス）？（効率的な）アルゴリズム？
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ランダム3-SAT：閾値のコンセンサス実験範囲はどのくらいですか？
ランダム3-SATの句に対する変数の重要な比率は3を超え6未満であり、「約4.2」または「約4.25」と一般的に説明されているようです。 Mezard、Parisi、およびZecchinaは、（物理的な意味で）臨界比が4.256であることを証明していますが、第1および第3の著者は4.267であることを証明しています。 What is the range of values that the critical ratio could possibly take? この質問をする動機は、比率がになる可能性がある場合、3-SATからNAE-3-SATへの標準的な削減（句と変数を句に変換し、変数）は比率を与えます。2 + 5–√≈ 4.2362+5≈4.2362+\sqrt{5} \approx 4.236mmmnnn2 メートル2m2mm + n + 1m+n+1m+n+1ϕϕ\phi
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信念伝播法の実行時間の理論的保証？
確率伝播は、確率的グラフィカルモデルの研究を通じて非常に強力な方法であることが示されています。 ただし、BPについては#P完全問題の完全な多項式ランダム化近似スキーム（FPRAS）を使用できるMCMCメソッドに匹敵するものは何も知りません。 誰かが私にいくつかの参考文献を教えてくれますか？
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