有限言語のXORオートマトン（NXA）はサイクルの恩恵を受けますか？

非決定的Xorオートマトン（NXA）は構文的にはNFAですが、（NFAの場合は少なくとも1つの受け入れパスではなく）受け入れパスの数が奇数の場合、NXAによって単語が受け入れられると言われます。

有限の正規言語には、サイクルを含まない最小限のNFAが存在することは容易にわかります（サイクルが初期状態から到達可能であり、それから受け入れ状態に移行する場合-言語はそうではありません）有限の）。 $L$

これは必ずしもNXAの場合ではありません。

表す XOR状態の複雑言語の、 $xsc(L)$ $L$

そして、によっての非環式XOR状態複雑（受け入れる最小の非環式NXAの大きさ、すなわち）。 $axsc(L)$ $L$ $L$

それはすべての有限の言語のためというのは本当です： $L$
$a バツ s c （ L ） = バツ s c （ L ）？$ $axsc(L)=xsc(L)\ ?$

— RB
ソース

有限言語の（一部の）サイクルを含むNXAの例を教えてください。

— アブザールヤカリルマズ14年

サイクルがある場合は、エッジを許可する場合、受け入れパスが無限に多くなる可能性があるため、 -cycles を禁止する必要があります。

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— ユヴァルフィルマス14年

@Abuzer受け入れ可能な状態のない1つの状態オートマトンは一例です。私はそれが愚かな例であることを知っていますが、それはすべてのサイクルが取り外し可能であるという問題のポイントです。

— domotorp

ところで、どのようにサイクルを定義していますか？状態の受け入れにつながるパスには、サイクルがありませんか？

— domotorp 14年

答えは肯定だと思います。もっと簡単な証明があるかもしれませんが、ここでは線形代数を使用した証明のスケッチを示します。

domotorpと同様に、n状態の XORオートマトンの構成をV = GF（2）^nのベクトルとして表示します。

ましょLは、アルファベットΣ= {1、...、上の有限言語であるK }とするためのXORオートマトン検討L状態の最小数とします。してみましょうn個の状態の数です。状態に1、…、nのラベルが付けられ、状態1が初期状態であると仮定します。

まず、表記法を設定します。ましょうV ₀ =（1、0、...、0）^T ∈ Vが初期状態に対応する基本ベクトルであり、およびlet sは、その行ベクトルであるI番目のエントリがあれば1であり、唯一の状態ならば、私は受理状態です。Vの部分空間R = { v：s v = 0} は、拒否される構成ベクトルに対応します。

毎∈Σ、聞かせてAがであるN × N個の文字によって引き起こされる遷移表すGF（2）上の行列Aを。たとえば、入力文字列a bを読み取った後の構成ベクトルは、A _b A _a v ₀です。文字列σ = a ₁ … a _tの場合、積A _a_{_t} … A _a_₁をM（σ）で表します。LET S = { A ₁、…、A _k }。

部分空間WのVがあると言われてS - 不変時にA W ⊆ WごとにA ∈ S。私たちの文脈では、これは、構成ベクトルがWに入ると、さらに多くの文字を読み取ることによってWから抜け出す方法がないことを意味します。

このXORオートマトンには状態の最小数があるため、次のプロパティがあります。

のみSの-invariant部分空間Vが含まV _0があるVそのもの。これは、Wがv ₀を含む適切なS不変部分空間である場合、最小値と矛盾してVの代わりにWを使用できるためです。
Rに含まれる唯一のS不変部分空間は{0}です。場合ためですWは自明であるSに含まれる-invariant部分空間R、そして我々は商ベクトル空間使用することができV / Wの代わりにVを再び極小と矛盾します、。

Lは有限であるため、mをLの文字列の長さよりも大きい整数とします。

補題1。少なくともmの長さの任意の文字列σに対して、M（σ）= 0です。

証明。 まず、長さが少なくともmの任意の文字列σに対して、M（σ）v ₀ = 0であることを証明します。LET Wは、の部分空間であるV {によって張らM（σ）V ₀：σは少なくとも長さの文字列であるM }。定義により、WはS不変です。問題のXORオートマトンはこれらの文字列σを拒否するため、WはRに含まれます。したがって、W = {0}、つまりM（σ）v ₀ = 0このようなすべての文字列σに対して。

今、任意のベクトル考慮V ∈ Vを。v ₀を含むVのS不変部分空間はV自体のみであるため、vは、一部の文字列τに対してM（τ）v ₀形式のベクトルの線形結合として記述できます。なぜならM（σ）、M（τ）V ₀ = M（τ σ）V ₀= 0（の長さので、後者の等式は、前の段落から次τ σが少なくともあるM）、その保持しているM（σ）V = 0。■

線形代数からもう1つの事実が必要です。

補題2。LET A ₁、...、_kがであるN × N個のフィールド上の行列、及び定義M（σを上記のように）。存在する場合、M ≥0ように、M（σ）=すべての列で0 σの長さの少なくともMは、その後行列₁、...、_kが同時にあり、存在する三角行列（厳密下部に類似しているNは × n非特異行列Pで、行列P ⁻¹A₁P、…、P ^-1A _k Pは厳密に下三角です）。

k = 1 の場合は、全能行列のよく知られた特性評価であり、補題2も同じ方法で証明できます。

今検討Nシンボルに対応-state XORオートマトンの遷移行列∈Σがによって与えられるP ^-1A P、初期設定ベクトルは、によって与えられるP ^-1V ₀の、特性（列）ベクトル受け入れ状態はs Pによって与えられます。構造上、このXORオートマトンは同じ言語Lを受け入れます。遷移行列は厳密に下三角であるため、このXORオートマトンのすべての遷移エッジは、インデックスが小さい状態からインデックスが大きい状態に移行するため、このXORオートマトンは非周期的です。初期構成ベクトルには複数の1がある場合がありますが、状態の数を増やしたり非循環性を損なったりすることなく、このXORオートマトンを同じ言語の単一の初期状態を持つ通常のXORオートマトンに簡単に変換できます。

— 伊藤剛
ソース

商ベクトル空間V / Wを使用すると、n個未満の状態でNXAを使用することに変換されますか？

— アベル・モリーナ

\bar{A_{a}}

$\overline{A_a}$

\bar{s}

$\bar{s}$

\bar{A_{a}}

$\overline{A_a}$

\bar{s}

$\bar{s}$

単項アルファベットではサイクルが役に立たないことを証明できると思います。

$M$ $F_2$ $v_n$ $F_2$ $\mod 2$ $n$ $v_n=M^nv_0$ $v_0=(1,0,..,0)$ $t$ $s\cdot v=0$ $s$ $M^n$ $s\cdot v_n=0$

— domotorp
ソース