コルモゴロフの理論の複雑さの比較

Chaitinの不完全性定理は、算術の無十分に強い理論が証明できると言う、文字列のコルモゴロフ複雑であると十分に大きい定数です。は、プルーフチェックマシン（PCM）のビット単位のサイズよりも大きい場合、十分に大きくなります。理論のPCMは、整数としてエンコードされた文字列を入力として受け取り、文字列がの言語で有効な証明である場合は1を出力します。K （s ）s L $K(s) > L$$K(s)$$s$$L$$L$$T$$T$

と仮定します 理論のために複雑の上限である。次の理論の階層を考えてみましょう。基本理論をロビンソン算術（）とします。増補多項式有界誘導のますます強い公理と。してみましょうと証明可能な定理の理論も及びこれらの有界誘導公理のいずれか。各理論のPCMを定義することにより、とを定義できると仮定します。T $L(T) > |PCM_T|$$T$$T$Q Q ∗ Q L （Q ）L （Q ∗$Q$$Q$$Q^*$$Q$$L(Q)$$L({Q^*})$

拡張されたプルーフチェックマシン（EPCM）を検討したいと思います。このEPCMは、ECMと同様に入力として文字列を受け取り、サブ理論のランクとレベルを定義する2番目の入力を持ちます。入力文字列が有効な証明である場合、EPCMは証明のステップを実行して、使用される誘導の最高ランクとレベルを決定します。このEPCMは、入力文が指定されたサブ理論で有効な証明である場合、1を書き込みます。Q ∗ Q ∗ Q $Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$

説明した拡張プルーフチェッカーは実行可能ですか？もしそうなら、このEPCMの大きさは、上の複雑さのためだけではないバインドされるだろう、だけでなく、上位のいずれかのサブ理論の複雑さにバインド？Q $Q^*$$Q^*$

とそのすべてのサブ理論の複雑さに一定の上限があると言うのは合理的ですか？$Q^*$

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この問題は、算術の矛盾のネルソンの失敗した証拠によって引き起こされました。一部の人々はその証拠が邪魔だと思うので、私は以前これを指摘しませんでした。私の動機は興味深い質問をすることです。CSTheoryは、この質問にふさわしいフォーラムのようです。とそのすべてのサブ理論の複雑さは、定数によって制限されるか、制限されません。どちらの答えもより多くの質問につながります。$Q^*$

サブ理論の複雑さが無制限であれば、私たちは最も弱いのサブ理論である何のような質問尋ねることができるよりも複雑？またはPAやZFCよりも複雑ですか？この質問について考えると、ストリングのコルモゴロフの複雑さについて理論が証明できる範囲には厳しい限界があることがすでに示されています。場合証明することができ、そのサブ理論の一貫その後、いずれでもない任意の文字列のためには。これは、より強い理論がよりも複雑である非常に弱い部分理論よりも複雑なストリングがあることを、本当に強い部分理論でさえ証明できないことを意味します。Q ∗ Q ∗ K （s ）> L （Q ∗）Q $Q^*$$Q^*$$Q^*$$K(s) > L(Q^*)$$Q^*$

この質問への回答を試みて、質問の正確な形式に関する混乱を解消しようとします。

$L$$T$$T$$L(T)$S T ' T T ⊢ φ T ' ⊢ φ φ L （T '）≥ L （T ）S T ⊢ K （S ）≥ L T

$$T\not\vdash K(s)\geq L(T)$$ $s$$T'$$T$$T\vdash\varphi$$T'\vdash\varphi$$\varphi$$L(T')\geq L(T)$。引数は非常に単純である。存在する場合ように次いで仮説によって。$s$$T\vdash K(s)\geq L$$T'\vdash K(s)\geq L$

ただし、これは、が絶対 Chaitin定数である場合にのみ当てはまります。特に、が証明する場合、 T ' C 、O 、N（T ）T ' ⊢ ∃ L ∀ S ⌈ T ⊬ K （¯ S）≥ ¯ L$L(T)$$T'$$\mathrm{Con}(T)$

$$T'\vdash \exists L\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq \overline{L}\rceil$$

Chaitinの議論を内部化することによって。しかし、コンクリート 用$l$

$$T'\vdash\forall s\ \lceil T\not\vdash K(\overline{s})\geq\overline{l}\rceil$$

一般的にと等しくなりません$L(T)$。特に、それははるかに大きく、一般にのの証明のサイズに比例します。これは定理自体の証明で簡単に見ることができ、の一貫性に決定的に依存しています。C 、O 、N（T ）T ' T$\mathrm{Con}(T)$$T'$$T$

そうしながら、有界誘導とシステムの整合性を証明することができ、これらの証明の長さが長くなる近いあなたが得るあなたが達すると表現（不完全性定理を理解するための一つの方法で長さが無限大になるということである、したがって、自体に一貫性の有限の証拠はありません）。したがって、サブ理論ごとに記述できる内部 sのさまざまな上限にも同じことが当てはまります。Q ∗ Q ∗ Q ∗ L （$Q^*$$Q^*$$Q^*$$Q^*$ $L(T)$$Q^*$

だからここにあなたの質問への短い答えは：、すべてのsubtheoriesのために一様に囲まれているが、自身がこのバウンドは、このようなすべてのsubtheoriesのために保持していることを表示することはできません。これはネルソンが犯した重大な間違いであり（形式主義のいくつかの層に埋もれて）、タオはここで指摘した。Q ∗ Q $L(T)$$Q^*$$Q^*$