理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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O（n log n）スペースとO（log n）-timeクエリを使用したDAGの到達可能性
有向非巡回グラフ場合、2次空間または線形時間を必要とせずに到達可能性クエリを可能にするデータ構造はありますか？理想的には、頂点ごとのO（log n）空間と対数時間のみを使用してアルゴリズムを探します。⟨ V、E⟩⟨V、E⟩{\langle}V,E{\rangle}ここで、。n = | V| + | E|n=|V|+|E|n=|V|+|E| 標準的なソートアルゴリズムの一般化に基づいて、このようなデータ構造が存在する必要があることは、私には直感的に明らかであるように見えました。しかし、何も見つからなかったことに驚きました。私が出会ったすべては、グラフについての仮定を立てた（例：平面性）か、2次の時間/空間でのより困難な問題を解決しました（例：グラフの変更をインターリーブしたクエリ）。 到達可能性のWikipediaのページには、唯一の一般的なアルゴリズム（フロイド・ウォーシャル）をカバー。ページの残りの部分では、グラフが平面的である（そうではない）などの仮定を含む特別なケースを扱います。 この分野で最も一般的に引用されている論文は、パス検索データ構造の償却効率であるように見えますが、これとそれが引用するすべての論文は、Oクエリでインターリーブされたグラフの更新（つまり、前処理なし）。 この質問には答えられませんでしたが、クエリでインターリーブされたエッジ挿入を許可するというより難しい問題に対処します。 この質問では、永続的な（純粋に機能的な）データ構造が求められましたが、ここでは必要ありません。「簡潔なPosets」ペーパーにはスペースが必要ですが、時間クエリを実現します。最悪の時間、より良い空間のアルゴリズムを探しています。O （n2）O（n2）O(n^2)O （1 ）O（1）O(1) 主にここで文献の足がかりを探しています。グラフの到達可能性に関する調査論文があり、その時間の99％を平面グラフの場合に費やしていない場合、それは役立ちます。
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整数上の3SUM問題の2つのアルゴリズムの比較
Ilya Baran、Erik D. Demaine、Mihai Patrascuによる論文「Subquadratic Algorithms for 3SUM」には、次の複雑さがあります。 3SUM問題： ようながある場合、整数のリストLLLが与えられnnnx 、y、z∈ Lバツ、y、z∈Lx,y,z \in Lx + y= z。バツ+y=z。x+y=z. 彼らは、「 bitワードの標準ワードRAMで、実行時間を取得し 。1つの非標準AC0動作の回路RAMでは、O（n ^ 2 / w ^ 2 \ log w）を取得します。外部メモリでは、標準的な仮定の下でもO（n ^ 2 /（MB））を実現しますキャッシュを無視して、O（n ^ 2 / MB \ log M）の実行時間を取得します。すべての場合において、高速化は、モデルが調整できる「並列性」でほぼ2次であり、これが最良である可能性がありますこちらのBaran、Demaine、Patrascuの論文をご覧ください。ワット-w−w-A C 0 O （n 2 / w 2 log w ）O …
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についてどのような証拠がありますか？
Josh Grochowの提案に従って、以前の質問からのコメントを新しい質問に変換しています。 についてどのような証拠がありますか？UP≠NPUP≠NP\mathsf{UP} \neq \mathsf{NP} ここでUPUP\mathsf{UP}は、「yes」インスタンスで一意の受け入れパスを持ち、「no」インスタンスで受け入れパスを持たない、多項式時間の非決定的チューリングマシンによって認識可能な言語のクラスです。 UP⊆NPUP⊆NP\mathsf{UP} \subseteq \mathsf{NP}P⊊UP⊊NPP⊊UP⊊NP\mathsf{P} \subsetneq \mathsf{UP} \subsetneq \mathsf{NP}UPUP\mathsf{UP}
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理論計算機科学のキャリア
私は現在、理論計算機科学と応用数学に興味のある高校生です。私は自分で線形代数と微積分、具体的な数学を学びました。より良いアルゴリズムを書くためには、新しい構造について学び、それらの構造を使用してより複雑で高速なアルゴリズムを形成できるため、できるだけ多くの数学を知らなければならないという素朴な考えがありますが、今、私は何をすべきか理解していません次にします。私はまだ大学に行くための1年があり、その間に、私は私のキャリアに役立つかもしれないいくつかの数学を勉強したいと思います。何から始めるべきですか？誰かが私におそらく現在および将来勉強するべきトピックのリストを提供してもらえますか。 また、抽象代数（主題の形式的すぎる）や代数トポロジーのようなものはコンピューターサイエンスに役立ちますか？
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ハミルトニアンサイクルとハミルトニアンパスの問題の複雑さが異なるグラフクラス
検索中グラフクラスとその介在物の情報システムを、私はハミルトン閉路問題の複雑さをしている間ハミルトン閉路問題はNP完全であるために、いくつかのグラフクラス見つからないでも知られています。これらのクラスの一部は、2次の最大次数3グラフ、最大次数3グリッドグラフ、および2連結立方平面グラフです。また、この現象は、円グラフと三角グリッドグラフにも適用されます。 これらのクラスのハミルトニアンパス問題の複雑さの更新はありますか？この現象の説明はありますか？ 編集：グラフクラスデータベースで、ハミルトニアンサイクル問題が、ハミルトニアンパス問題が未知の複雑さであるソリッドグリッドグラフの奇妙なケースを見つけました。PPP
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グラフ同型問題
グラフ同型問題に関する文献レビューを行っています。私が読んでいる論文のほとんどは、EM LuksとLaszlo Babaiによって書かれています。これらの論文は、グループ理論と複雑性理論の高度な知識を使用しています。私はこの分野に慣れていないので、多くのことがはっきりしません。 他のアイデアを思い付くことができるように、これらの論文で提示されているアイデアやテクニックを学ぶ方法を誰かが提案できますか？ どうもありがとうございます
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正確に25％の確率でエラーになるランダム化アルゴリズムはどのクラスにありますか？
E（xact）BPPを呼び出すBPPの次のバリアントを考えてみましょう：正確に3/4の確率で言語のすべての単語を受け入れ、すべての単語が正確に1/4の確率を持つ言語。明らかにEBPPはBPPに含まれていますが、同等ですか？これは研究されましたか？同様に定義可能なERPはどうですか？ 動機。私の主な動機は、Faenza et al。の「期待値の正しい」ランダム化アルゴリズムの複雑性理論的類似物を知りたいということです （http://arxiv.org/abs/1105.4127を参照）になります。最初に、このようなアルゴリズムがどのような決定問題を解決できるかを理解したかった（最悪の場合の多項式実行時間を使用）。このクラスをE（xpected）V（alue）PPで表します。そのUSAT簡単に確認することができ∈∈\in EVPPを。また、そのEBPP見やすい⊂⊂\subset EVPPを。それが私の動機でした。EVPPに関するフィードバックも歓迎します。 実際、それらのアルゴリズムは常に非負の数を出力します。我々は問題がEVP（ositive）PPによって、このようなアルゴリズムによって認識決定を表す場合には、我々はまだUSAT持っ∈∈\in EVPPPを。EBPPがEVPPPのサブセットではないかもしれませんが、我々はERP持っ⊂⊂\subset EVPPPを。これらを使用して、決定問題の（非負の）ランクを定義できます。
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局所的に制限されたツリー幅グラフの一般化
次のグラフクラスは文献で知られていますか？ グラフのクラスは正の整数でパラメータ化されとと各グラフ含まように、各頂点のためのの部分グラフ最大で距離で全ての頂点に誘起からにツリー幅は最大です。dddtttG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)V ∈ Vv∈Vv\in VGGGdddvvvGGGttt これは、ローカルに制限されたtreewidthの概念を一般化し、グラフ内のローカル構造を検索するときに役立ちます。
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区間被覆問題の複雑さ
以下の検討問題QQQ：我々は、整数を与えられ、及びk個の区間[ L Iを、rはiは ]で1 ≤ L I ≤ rはI ≤ 2 N。我々はまた、与えられた2 n個の整数は、dは1、... 、D 2 のn ≥ 0を。タスクは、間隔の最小数[ l i、r i ]を選択することですnnnkkk[li,ri][li,ri][l_i,r_i]1≤li≤ri≤2n1≤li≤ri≤2n1\leq l_i\leq r_i\leq 2n2n2n2nd1,…,d2n≥0d1,…,d2n≥0d_1,…,d_{2n}\geq 0[li,ri][li,ri][l_i,r_i]すべての、整数iを含む少なくともd iの間隔が選択されるようにします。i=1,…,2ni=1,…,2ni=1,…,2ndidid_iiii が多項式時間で解けることを確認するのは難しくありません（以下を参照）。QQQ ここで、次のわずかに変更された問題Q′Q′Q’考えます。問題の入力は以前と同じです。しかし、タスクは、現在の間隔の最小数を選択することであるようなすべてのためにその、少なくともD 2は、I - 1つの整数含有間隔2をI - 1、または少なくともD 2つのI整数を含む間隔2 iが選択されます（「または」は通常の論理ORを意味します）。i=1,…,ni=1,…,ni=1,…,nd2i−1d2i−1d_{2i-1}2i−12i−12i-1d2id2id_{2i}2i2i2i 私の質問：は多項式時間で解くことができますか？Q′Q′Q’ 効率的に解決する2つの方法を次に示します。QQQ シンプルな欲張りアルゴリズム：間隔を左から右にスイープし、数値を「満たす」ために必要な数だけ間隔を選択します。異なる間隔の間で選択がある場合は常に、右端が最大になるものを選択します。didid_i 整数プログラム：各間隔の決定変数を導入するには、xはI ∈ { 0 、1 }で、X iは = 1間隔IFFが選択されています。目的は、最小限に抑えることであるX 1 + …
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ブール関数の（ほぼ）フーリエ変換のサンプリングの複雑さ
量子コンピューターでできることの1つは（おそらくBPP +対数量子回路でも）、Pのブール値関数のフーリエ変換を近似サンプリングすることです。± 1±1\pm 1 フーリエ変換のサンプリングについて話すときは、以下でに従ってxを選択することを意味します。（必要に応じて、おおよそ正規化されます）。| f^（x ）|2|f^（バツ）|2|\hat f(x)|^2 Pの近似サンプリングブール関数のP-FOURIER SAMPLINGと呼ばれる複雑度クラスを記述できますか？このクラスに完全な問題はありますか？ 計算の複雑さについて言うことができるブール関数のクラスXを考えると、Xの関数のフーリエ変換のサンプリングを近似するSAMPLING-Xと呼ぶことができます（XがBQPの場合、X-SAMPLINGはまだ量子コンピューターの力の範囲内です。） SAMPLING-XがPにあるXの例は何ですか？SAMPLING-XがNPハードである興味深い例はありますか？ この問題には、興味深いものもいくつかあります。フーリエ側では、近似サンプルではなく、近似サンプリングによって（確率的に）有効化された決定問題について話すことができます。第一に、確率分布のクラスXから始めて、Xの分布Dをほぼサンプリングする能力と（正規化）フーリエ変換をほぼサンプリングする能力との関係を尋ねることができます。 要するに、この質問について知られていること。 更新： Martin Schwarzは、すべてのフーリエ係数自体が多項式のエントリ数のみに集中している場合、BPPでこれらの大きな係数を近似することができる（したがって、ほぼサンプリングすることもできる）と指摘しました。これは、Goldreich-Levinクシレビッツマンスール。フーリエ係数が多項式的に多くの係数に分散されるフーリエ側を近似的にサンプリングするための確率的多項式アルゴリズムがある関数の興味深いクラスはありますか？ 後で追加：いくつかの具体的な問題について言及させてください。 1）Pのブール関数のフーリエ変換を近似的にサンプリングするのはどれくらい難しいか a）スコットアーロンソンが以下のコメントで言及した1つの質問は、これがBPPにないことを示すことです。または、このタスクがBPPにある場合、何らかの崩壊が発生しているという線に沿って何か弱いものがあります。（スコットランドはこれが事実であると推測します。） b）別の質問は、このタスクがいくつかの量子ベースの複雑度クラスに関して難しいことを示すことです。たとえば、このタスクを実行できる場合は、BPPでログ深さ量子コンピューターなどの決定問題を解決できることを示します。 2）フーリエ関数の近似サンプリングがPであるようなブール関数のクラスとは何ですか。これは、フーリエ係数が多項式の多くの係数に集中している場合ですが、これは非常に制限されているようです。 3）PHには、Xマシンが計算できるすべての関数のフーリエ変換をほぼサンプリングできる複雑なクラスXがあります。 4）n行n列の六角形グリッドでのパーコレーションの交差イベントのフーリエ変換のサンプリングの問題に特に興味がありました。
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経済学者が計算の複雑さを気にするべき理由
印刷物における複雑性理論の関連性を経済学者に納得させようとするとき、引用する標準的な参照はありますか？私は、Noam Nisanのブログ投稿、Tim Roughgardenの調査、およびScott Aaronsonのエッセイの第11章に精通しています。これらの投稿はコンピューターサイエンティストがアクセスできますが、経済学者の言語を使用せず、通常彼らが読む場所で公開されません。エコノミストを対象とした均衡などの複雑さの重要性について、良い議論はありますか？エコノミストがコンピューター科学者からの圧力にどのように対応してきたかについての歴史的な概要はありますか？ 新古典派経済学は単純に閉鎖されているため、そのような論文は存在できないと主張することができますが、進化経済学や複雑な（SFIの意味で）経済学など、経済学者に馴染みのある言語で正当化されるわずかに異端的な分野があります。これらのフィールドは、計算の複雑さのアプローチ（平衡の仮定から離れるなど）と同様の批判も行いますが、CSのように厳密に正当化しないでください。 関連する質問 社会科学におけるアルゴリズムレンズ 量的金融の計算の複雑さ
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このエッジカラーリング問題の複雑さは何ですか？
最近、私は以下のエッジカラーリングのバリエーションに遭遇しました。 接続された無向グラフ与えられ、また制約を満たしながら色の最大数を使用してエッジのカラーリングを見つけ、そのすべての頂点のための、にエッジ入射Vの最大2色での使用。vvvvvv 私の最初の推測は、問題がNP困難であるということです。グラフ彩色問題の古典的なNP困難な証明は、ほとんど3SATからの削減によるものです。しかし、私の意見では、これらの証明はこの問題には役立ちません。なぜなら、頂点に入射するエッジは同じ色で着色できるため、グラフに論理コンポーネントを構築できないからです。 この問題はNP困難なのでしょうか？はいの場合、証拠とは何ですか？証拠を微調整できない場合、この問題の複雑さを判断する方法はありますか？ ありがとう！
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効率的な正当性と効率性の証拠のない建設的に効率的なアルゴリズム
私は効率的なアルゴリズムの自然な例を探しています（すなわち、多項式時間で）st それらの正確性と効率性は建設的に証明することができます（例：PRAPRAPRAまたは）が、HAHAHA 効率的な概念のみを使用した証明は知られていません（つまり、またはでそれらの正確さと効率を証明する方法がわかりません）。TV0TV0TV^0S12S21S^1_2 自分で人工的な例を作ることができます。しかし、この種の質問に答えるためだけに作成されたのではなく、興味深い自然な例、つまり独自に研究されたアルゴリズムが必要です。
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サブタイピングのカテゴリセマンティクスとは何ですか？
Curry-Howard-Lambekから始まって、型理論、論理、カテゴリの素晴らしい三位一体がありました。型理論に（強制的な）サブタイピングを追加すると、どのようなカテゴリのセマンティクスが得られるのか興味があります-これは、ほとんど検討されていないようです。 一般に、型理論に強制的なサブタイピングを追加しても、強い正規化などのメタ理論的な特性が損なわれることはないため、そのカテゴリのセマンティクスは実際に興味深いものになるはずです！
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Strassenアルゴリズムでのマトリックスの選択の背後にある大きな画像
Strassenアルゴリズムでは、2つの行列とBの積を計算するために、行列AとBは2 × 2ブロック行列に分割され、アルゴリズムは単純な8ブロック行列ではなく、7ブロック行列-行列積を再帰的に計算します。行列積、すなわち、我々は場合はC = A B、 A = [ 1 、1 A 1 、2 A 2 、1 A 2 、2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 次に、我々は C 1 、1 = A 1 、1件のB 1 、1 + A 1A = [ A1 、1A2 、1A1 、2A2 、2] 、 B …
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