効率的な正当性と効率性の証拠のない建設的に効率的なアルゴリズム

私は効率的なアルゴリズムの自然な例を探しています（すなわち、多項式時間で）st

1. それらの正確性と効率性は建設的に証明することができます（例：$PRA$または）が、$HA$
2. 効率的な概念のみを使用した証明は知られていません（つまり、またはでそれらの正確さと効率を証明する方法がわかりません）。$TV^0$$S^1_2$

自分で人工的な例を作ることができます。しかし、この種の質問に答えるためだけに作成されたのではなく、興味深い自然な例、つまり独自に研究されたアルゴリズムが必要です。

これはAndrejの答えと同じ考えですが、詳細があります。

クライチェクとスキー-パドラック[ LNCS 960、1995、PP。210-220は】示されているその場合はであるΣ B 1 -propertyことを定義する標準モデルにおける素数とS 1 2 ⊢ ¬ P （X ）→ （∃ Y 1、Y 2）（1 < Y 1、Y 2 < X ∧ X = Y 1つのY 2$P(x)$$\Sigma^b_1$

$$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$$ 次に、多項式時間因数分解アルゴリズムがあります。素数のための任意のNPアルゴリズムは、基本的にテストするので、これは例の束を与えると、そのような収率式。特に、AKSの素数性テストはそのような式を提供します（S 1 2の言語で適切に再キャストされた場合）。KrajicekとPudlakの論文は、この種の暗号関連の例をさらに提供していますが、AKSおよび関連する進歩よりも数年前に作成されています。$\Sigma^b_1$$S^1_2$

$\mathrm{TC}^0$$\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$$\mathit{VTC}^0$$\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$$\left(\frac ap\right)=1$$a$$p$

$S^1_2$

別のクラスの例は、多項式の既約性テストと因数分解アルゴリズム（主に有限体と有理数）によって与えられます。これらは常にフェルマーの小さな定理またはその一般化（とりわけ）に依存しており、そのため、有界算術の適切な理論で形式化できることは知られていません。通常、これらのアルゴリズムはランダム化されますが、決定論的な多項式時間の例では、Rabinの既約性テストまたはTonelli–Shanks平方根アルゴリズム（入力の一部として2次非剰余が必要になるように定式化）を使用できます。

AKS素数判定法は、ウィキペディアが信じられるのであれば良い候補のように思えます。

ただし、このような例を見つけるのは難しいと思います。既存の証明は、有界演算では明らかに行われないように表現されますが、多かれ少なかれ（通常はもっと）努力することで有界演算に「適応」できるでしょう。