整数上の3SUM問題の2つのアルゴリズムの比較

Ilya Baran、Erik D. Demaine、Mihai Patrascuによる論文「Subquadratic Algorithms for 3SUM」には、次の複雑さがあります。

3SUM問題： ようながある場合、整数のリスト$L$が与えられ$n$$x,y,z \in L$$x+y=z.$

彼らは、「 bitワードの標準ワードRAMで、実行時間を取得し 。1つの非標準AC0動作の回路RAMでは、O（n ^ 2 / w ^ 2 \ log w）を取得します。外部メモリでは、標準的な仮定の下でもO（n ^ 2 /（MB））を実現しますキャッシュを無視して、O（n ^ 2 / MB \ log M）の実行時間を取得します。すべての場合において、高速化は、モデルが調整できる「並列性」でほぼ2次であり、これが最良である可能性がありますこちらのBaran、Demaine、Patrascuの論文をご覧ください。$w-$A C 0 O （n 2 / w 2 log w ）O （n 2 /（M B ））O （n 2 / M B log M $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$$AC0$$O(n^2/ w^2 \log w)$$O(n^2/(MB))$$O(n^2/ MB \log M )$

最近、GrondlundとPettieによる論文「Threesomes、Degenerates、and Love Triangles」は、「3SUMの決定木の複雑さは$O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$であり、$O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$時間で実行されるランダム化された3SUMアルゴリズム、および$O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$時間。

これらの結果は、3SUM予想の最も強力なバージョン、つまりその決定木（およびアルゴリズム）の複雑さはΩ（n ^ 2）であることに反論してい$Ω(n^2)$ます。」

この2つ目の論文はこちらをご覧ください。

明らかに、どちらも重要な論文です。この分野の専門家ではないので、私の質問は、複雑さのモデルが異なる場合、どちらの影響と重要性を比較するかについてです。この問題に関する他の洞察に満ちたコメントも歓迎します。たとえば、最初の論文で既に$\Omega(n^2)$限界が除外されていたのでしょうか？

新しい結果に視点を与えるのに役立ついくつかのポイントを以下に示します。

決定木の複雑さの結果は大きいです。攻撃の1行（およびジェフエリクソンはこれについて詳しく説明できます）は、問題の決定の複雑さ（つまり、問題を解決するために必要な比較の数）を調べることで下限3SUMを試すことでした。希望は、に近いものが達成可能であることでした。$\Omega(n^2)$

この結果は、その引数を境界で決定的に破棄します。これは問題の本当の複雑さについて何も言っていないことに注意してください。意思決定ツリーの下限は発生しないと言われています。そして、それは（他の証拠と一緒に）3SUMが「道徳的に」近いという基本的な前提に疑問を投げかけます。N $O(n^{3/2})$$n^2$

アルゴリズムの結果は無条件に準二次的です（つまり、単語並列モデルではありません）。これは大したことです。ただし、定数ではではないという事実についてはするかもしれません。$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon$

@domotorpが言うように、これは一連の新しい結果の始まりになります。言うのは本当に難しいです。現在の上限は、ティモシーチャンの魔法のトリックを使用して決定木アルゴリズムを「再実装」することから得られます。これをさらに進めることができると考えられます。

すべての入力数にビットがあり、1つのステップで2つのビット数を追加できることがわかっている場合、最初の論文は基本的に2次アルゴリズムを提供します。これはそれほど驚くべき結果ではなく、バウンドを除外しませんでした。$w$$w$$\Omega(n^2)$

2番目の論文はそのような仮定を使用せず、決定木のの指数を改善します。これは驚くべきことですが、すべてのアルゴリズムほど大きくはありませんが、わずかに改善されています。もうすぐ結果が増えると思います。$n$