最大の「公平な」マッチング
グラフの最大重みマッチングのバリエーションに興味があります。これを「最大公正マッチング」と呼びます。 グラフがいっぱいで（つまりE=V×VE=V×VE=V\times V）、頂点の数が偶数であり、重みが利益関数によって与えられると仮定し。一致する与えられると、エッジ利益が一致するによって示されます。p:(V2)→Np:(V2)→Np:{V\choose 2}\to \mathbb NMMMM(v)M(v)M(v)vvv 一致するは、任意の2つの頂点について、公平に一致するiffです： MMMu,v∈Vu,v∈Vu,v\in V(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u) つまり、任意の頂点、を頂点一致させると、それを頂点一致させるよりも高い利益が得られる場合、公平な一致で十分です。w∈Vw∈Vw\in VwwwvvvuuuM(v)≥M(u)M(v)≥M(u)M(v)\geq M(u) 最大の公平なマッチングを効率的に見つけることができますか？ 興味深いケースは、グラフが2部構成であり、公平性が片側にのみ適用される場合です。つまり、であると想定し、利益関数が与えられます。G=(L∪R,L×R)G=(L∪R,L×R)G=(L\cup R,L\times R)p:L×R→Np:L×R→Np:L\times R\to \mathbb N A フェア二部マッチングがでマッチングあるような任意の2つの頂点のための： GGGu,v∈Lu,v∈Lu,v\in L(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u) 最大ウェイトの公平な2部マッチングをどれくらい速く見つけることができますか？ この問題の動機は、2つの部分からなる特殊なケースにあります。ワーカーとタスクがあり、ワーカーが作業から利益を生み出すことができると仮定します。ここで問題になるのは、合理的な設計をすることです（ある意味では、労働者は「はぎ取られた」とは感じません）一方で、総ペイオフを最大化します（割り当てメカニズムの力と社会的利益の間にはトレードオフがあります）。nnnmmmiiipi,jpi,jp_{i,j}jjj 労働者の仕事への割り当ての社会福祉（または工場の利益）を利益の合計として定義する場合。 ジョブアサイナの機能に関するさまざまなシナリオを見ると、次の結果が得られます。 任意のワーカーを任意のジョブに割り当てることが許可されている場合は、工場を効率的に最適化できます（最大重量のマッチングを見つけるだけです）。 すべてのワーカーが自分でタスクを選択した場合、自分の仕事が選択されると想定して（各ジョブで選択できるのは1つの仕事のみ）、タスクを選択した最も適格なワーカーである場合、ワーカーは「貪欲」に収束します。 '平衡。その理由は、最も多く稼ぐことができるワーカー（）が最も収益性の高いジョブを選択する、などです。マッチングの貪欲アルゴリズムの近似率により、これは可能な最大の社会福祉の2近似を与えるはずです。i=argmaximaxjpi,ji=argmaximaxjpi,ji=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j} …