コルモゴロフの複雑性は全射関数ですか？

入力（T、x）で入力xのT出力を出力する（おそらく両方が永久に実行される）チューリングマシンとユニバーサルチューリングマシンUのエンコーディングを修正しましょう。xのコルモゴロフ複雑度K（x）を、U（p）= xとなるような最短プログラムpの長さとして定義します。

すべてのn> Nに対して、K（x）= nのxがあるようなNはありますか？

リマーク。ユニバーサルチューリングマシンを別の方法で定義すると、答えは否定的なものになる可能性があります。たとえば、（T、x）の長さが100で割り切れる場合、入力（T、x）でTをxでシミュレートし、それ以外の場合は何もしないUについて考えます。この例をいくつかの方法で変更して、ユニバーサルチューリングマシンのさまざまな定義の反例を取得できます。

深い洞察のない、単なる拡張コメント：おそらく、チューリングマシンのエンコードをごまかして、全射コルモゴロフの複雑さにつながる人工的なエンコードを構築できます。

• は 0（1ステートTM）を出力するチューリングマシンを表します。$0$$0$
• は、 p + 1（バイナリ文字列 pに1を加えた数）を出力するチューリングマシンを表します。これは、 p + 1を出力する決定可能なTMの暗黙の「圧縮」バージョンです。$0p$$p+1$$p$$p+1$
• は、標準的な列挙の p + 1番目のチューリングマシンを表します（列挙は、すでに 0および 0 pに含まれているTMをスキップできます）。$1p$$p+1$$0$$0p$

入力の対応するユニバーサルTM は、bの値をチェックします。0の場合、x + 1を出力します。それ以外の場合、TM M x + 1（xが空の文字列の場合はM 0）をシミュレートします。M x + 1は入力を埋め込むことに注意してください。$bx$$b$$0$$x+1$$M_{x+1}$$M_0$$x$$M_{x+1}$

すべての文字列の場合は、1 ≤ K （X ）≤ | x | + 1 ; そしてすべてのためのn ≥ 1がある2つのn個の長さの文字列nがだけある2 N - 1 - 1つの長さのプログラム< Nその使用して表すことができる1つのP符号化と、そして、1 pを使用して表現できる長さnの2 n − 1プログラムのみ$x$$1 \leq K(x) \leq |x|+1$$n \geq 1$$2^{n}$$n$$2^{n-1}-1$$< n$$1p$$2^{n}-1$$n$$1p$エンコーディング; したがって、文字列少なくとも の長さのn個のプログラムで表すことができない1 、P長さの≤ N。しかし、それは確かに長さn + 1のプログラム0 x ′で表すことができます（それを生成する同じ長さn + 1のプログラム1 pも存在するかどうか心配しません）。$x'$$n$$1p$$\leq n$$0x'$$n+1$$1p$$n+1$

すべてのに対して、文字列x ′、|が存在すると結論付けることができます。x ′ | = NようにK （X '）= N + 1（この特定のKは全射であるので）。$n > 1$$x', |x'|=n$$K(x') = n+1$