決定可能な証明の平等？

同じ命題の2つの決定可能な証明の同等性の決定可能性が帰納的構造の計算で追加の公理なしに証明できるかどうか知りたいです。

具体的には、これがCoqで追加の公理なしに当てはまるかどうかを知りたいです。

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

ありがとう！

エラーを修正するために編集：Propより明確にするために2を編集

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— アダム・バラク
ソース

あなたが書いたものは意味がありません。場合は命題であるその後、証拠である、とあなたは形成することはできません。あなたの仮説はではなくである、つまり " is decidable"であるということですか？

P

$P$

p : P

$p : P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$

P

$P$

— Andrej Bauer

申し訳ありませんが、私は「は決定可能である」という仮説を意味しました。つまり、

P

$P$

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— Adam Barak

テイクようにあなたは簡単に生息することができるので、その文はfalseですとを使用すると、関数の等価性は明らかに決定できません。について他に考えている条件はありますか？

P

$P$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$

P

$P$

— Neel Krishnaswami 2014

Pは命題でなければなりません。（実際、私の開発ではすでに機能拡張を使用しているので、このステートメントは私にも当てはまりますが、ここでは機能/命題拡張を無視します）。

— Adam Barak 14

関数の拡張性は、関数の等価性が決定可能であることを意味しません...そして、ニールの答えは一般的なケースを解決します：Pが（居住された）無限型（追加の公理が含まれていない場合、命題のいくつかの型を含む）である場合、意味は失敗しますままにします。

P \to P

$P\rightarrow P$

— cody 2014

Neelが「命題は型である」のもとで作業すると指摘するように、ように、等価性を決定可能であると示すことができない型を簡単に思い付くことができます（ただし、すべての型が決定可能等価であると仮定することはもちろん一貫しています）。。 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

「命題」をより制限された種類のタイプとして理解する場合、答えは私たちが正確に何を意味するかによって異なります。Prop種類のある構造の微積分で作業している場合でも、決定可能な命題が決定可能な同等性を持っていることを示すことはできません。これは、構成の計算においてProp証明に関連する型のユニバースと一致するため、Propようなものが含まれている可能性があるためです。これは、Coqのの概念の定理を証明できないことも意味します。 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ Prop

しかし、いずれにせよ、最良の答えはホモトピー型理論から来ます。命題はを満たすタイプつまり、命題は最大で1つの要素を持ちます（証明とは無関係な真理値として理解されるべきである場合にそうなります）。この場合、命題の定義はその平等が決定可能であることを即座に暗示するので、答えはもちろん肯定的です。 $P$

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$

「命題」が何を意味するのか知りたいです。

— アンドレイ・バウアー
ソース

どのように入れますか？ありがとう！

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ Prop

— Adam Barak 2014

を妨げる構成計算には何もありません、ありますか？

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$

— Andrej Bauer

ここでの混乱は、「coqシステム」が何を意味するかについてです。それが「構造の微積分」であれば、です。より正確な「1命令的宇宙を伴う帰納的構造の計算」の場合、は宇宙レベルの注釈がなければ意味がありません。私の知る限り、は一貫した公理です（ただし、微妙な理由でEMと一致しません）。

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$

T y p e

$\mathtt{Type}$

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$

— cody 2014

もちろん、インデックスをます。@AdamBarakが理解するポイントは次のとおりです。はCoqで矛盾を引き起こさないため、Coqで何かができないことを示すことができます。もあった場合は矛盾します。

T y p e

$\mathtt{Type}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

— Andrej Bauer 14

まだ完全に正しくはありません。Coqでは、機能の等価性が決定不可能であることを示すことができないためです。「平等は決定可能である」という文は、Martin Escardoが建設的なタブーと呼んでいるものです。Coqでは証明も反証もできません。したがって、正しい引数は次のとおりです。場合、は命題であり、ステートメント "emath onは決定可能です」は証明できません。（あなたが言ったところ：そして、「平等は決定可能である」という文は誤りです）。

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— Andrej Bauer 14