高次多項式の無作為な同一性テスト？

ましょうあることサイズのポリ演算回路として与え変量多項式、およびlet素数です。$f$$n$$(n)$$p = 2^{\Omega(n)}$

時間がとエラー確率を使用して、次数が、がに対してにゼロであるかどうかをテストできますか先験的に限界がある？が一変量の場合はどうなりますか？$f$$\mathbb{Z}_p$$\mbox{poly}(n)$$\leq 1-1/\mbox{poly}(n)$$f$

場合は、効率的にテストできることに注意してください、同一としてゼロで正式な表現、サイズのフィールドの上シュワルツ-Zippelを適用することで言う、最大度合いので、ある。$f$ $2^{2|f|}$$f$$2^{|f|}$

問題の入力が何であり、どのように制限を適用するかは、私には正確には明らかではありませんが、妥当な公式の下では、NP = RPでない限り、多変量多項式の答えはありません。以下の削減による。$p=2^{\Omega(n)}$

プライムパワー与えられたバイナリブール回路で（のみ使用WLOGとゲート）、我々は多項式時間で演算回路構築できるように、ときに限り充足不能である上同一ゼロ多項式計算次のように変換と、と、および可変と（サイズの回路で表すことができる繰り返し二乗を用いて）。$q$$C$$\land$$\neg$$C_q$$C$$C_q$$\mathbb F_q$$a\land b$$ab$$\neg a$$1-a$$x_i$$x_i^{q-1}$$O(\log q)$

場合は（私は実際には重要とは思わないもの）首相と十分に大きい、私たちも削減単変量を行うことができますの定義変更よう多項式で翻訳され 一方では、すべてのに対して、が満たされない場合、すべてのに対してになります。一方、が充足可能であると仮定します。たとえば、で、です。そのことに注意してください $q=p$$C_p$$x_i$

$$f_i(x)=((x+i)^{(p-1)/2}+1)^{p-1}.$$ $f_i(a)\in\{0,1\}$$a\in\mathbb F_p$$C$$C_p(a)=0$$a$$C$$C(b_1,\dots,b_n)=1$$b_i\in\{0,1\}$ $$f_i(a)=\begin{cases}1&\text{if $a+i$ is a quadratic residue (including $0$),}\\ 0&\text{if $a+i$ is a quadratic nonresidue.}\end{cases}$$ したがって、があるような 場合 for。ペラルタの推論5は、そのよう常にが存在することを意味します。$C_p(a)=1$$a\in\mathbb F_p$ $$a+i\text{ is a quadratic residue }\iff b_i=1$$ $i=1,\dots,n$$a$$p\ge(1+o(1))2^{2n}n^2$