頂点セットの同値関係を持つグラフ同型

色付きのグラフはタプルとして説明できます。ここで、はグラフ、は色です。2つの色付きのグラフとは、同型であるが存在し、色付けが守られている場合、つまりすべての。$(G,c)$$G$$c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$$(G,c)$$(H,d)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$c(v) = d(\pi(v))$$v \in V(G)$

この概念は、色付きのグラフの同型を非常に厳密に捉えています。同じ地域の2つの政治地図があり、それらが異なる色セットを使用している場合を考えます。同じように色付けされているかどうかを尋ねる場合、2つのカラーセット間に全単射マッピングが存在し、両方のマップの色がこのマッピングを介して一致するかどうかを意味すると想定します。この概念は、色付きのグラフをタプルとして記述することで形式化できます。ここで、は頂点セットの同値関係です。我々は、2つのそのようなグラフと言うことができる及び同型が存在する場合に同形であるように、すべてのペアについて$(G,\sim)$$\sim$$G$$(G,\sim_1)$$(H,\sim_2)$$\pi : V(G) \rightarrow V(H)$$v_1,v_2 \in V(G)$には、

私の質問は、この概念が以前に標準形などを見つけるために研究されているかどうか、そうであればそれはどのような名前で知られていますか？

あなたが説明する問題は間違いなく考慮されました（大学院で議論したことを覚えていますが、当時はすでにずっと以前に議論されていました）。これは、次のように、色付けされていないグラフ同型と線形的に同等であるためと考えられます（これは、正規形でも当てはまります）。EQ-GIを説明する問題を呼び出します。

GIはEQ-GIの特別なケースであり、各グラフにはすべての頂点で構成される等価クラスが1つだけあります。

他の方向では、EQ-GIをGIに削減するには、を個の頂点、個のエッジ、および同値類との同値関係を持つグラフとします。頂点セットがの頂点と、各等価クラスに対応する新しい頂点、および新しい頂点構成されるグラフをします。接続経路での、各接続する、そして内のすべての頂点の$(G, \sim_G)$$n$$m$$c$$G'$$G$$v_1, \dotsc, v_c$$=_G$$n+c+1$$w_0, \dotsc, w_{n+c}$$w_i$$w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$$v_i$$w_0$$G$、対応する等価クラスの頂点に接続します。その場合、は最大頂点を持ち、本質的に同じ時間範囲で構築できます。（また、最大でエッジがあります-これは、接続されたグラフのですが、それはやや少ないですほとんどのGIアルゴリズムの実行時間は本質的にのみ依存するため、関連しています。$v_i$$G'$$n + 2c + n +1 \leq O(n)$$m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$$O(m)$$n$

更新：コメントに混乱があったため、上記の議論の正確さのスケッチをここに追加します。および与えられた場合、およびを上記のように作成されたグラフとします。がで上から頂点を、がで頂点を、そして同様にと表すとしましょう。同型がある場合、すべてのについてをに送信する必要があります。$(G_1, \sim_1)$$(G_2, \sim_2)$$G_1'$$G_2'$$v_{i,1}$$v_i$$G_1'$$v_{i,2}$$G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$G_1' \cong G_2'$$w_{i,1}$$w_{i,2}$$i$、各グラフでは、少なくとも長さのパスの終点である一意の頂点です。特に、はマップされます。近隣のでない正確である、同型が設定されたマップしなければならない集合に（特にとは両方とも同じ数の等価クラスを持つ必要があります）。同型写像はをに送る必要がないことに注意してください。$w_{n+c}$$n+c+1$$w_{0,1}$$w_{0,2}$$w_0$$w_1$$v_i$$\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$$\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$$\sim_1$$\sim_2$$c$$v_{i,1}$$v_{i,2}$$i$ですが、対応する等価クラスを相互にマッピングできる限り、のインデックスを並べ替えることができます。逆に、と間の同型がどのようにかのこの説明に基づいて、場合、これが同型与えることは簡単にわかります。$v$$G_1'$$G_2'$$(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$$G_1' \cong G_2'$

私はあなたの最後のコメントをジョシュアの正解で読みました。EQ-GIをカラーGIに変換する必要がある場合（つまり、同値クラスに割り当てられた色に問題がある場合）、次の削減を使用できます。

開始グラフが、であり、等価クラスがあると仮定します。次に、各グラフに「順列子」、つまりノードの完全なグラフ（、）および色を使用。$G_1 = (V_1, E_1)$$G_2 = (V_2, E_2)$$q$$|V_1|+1=|V_2|+1$$K'_{|V_1|+1}$$K''_{|V_2|+1}$$q+1$$c_1,...,c_q,c_{q+1}$

と両方で、 ノードは区別され、色付けされ残りのノードは色付けされます。のノードは色色付けされ、同じ等価クラスのノードは対応する色にリンクされます。のノードは色色付けされ、同じ同値類のノードは対応する色にリンクされます。$K'$$K''$$q$$c_1,...,c_q$$c_{q+1}$$G_1$$c_{q+1}$$K'$$G_2$$q+1$$K''$

また、色を削除して同等のGIインスタンスを取得できることにも注意してください:-)

あなたのコメントの例に対応する削減