タグ付けされた質問 「bipartite-graphs」

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最大の「公平な」マッチング
グラフの最大重みマッチングのバリエーションに興味があります。これを「最大公正マッチング」と呼びます。 グラフがいっぱいで(つまりE=V×VE=V×VE=V\times V)、頂点の数が偶数であり、重みが利益関数によって与えられると仮定し。一致する与えられると、エッジ利益が一致するによって示されます。p:(V2)→Np:(V2)→Np:{V\choose 2}\to \mathbb NMMMM(v)M(v)M(v)vvv 一致するは、任意の2つの頂点について、公平に一致するiffです: MMMu,v∈Vu,v∈Vu,v\in V(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(∀w∈V: p({w,v})≥p({w,u}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u) つまり、任意の頂点、を頂点一致させると、それを頂点一致させるよりも高い利益が得られる場合、公平な一致で十分です。w∈Vw∈Vw\in VwwwvvvuuuM(v)≥M(u)M(v)≥M(u)M(v)\geq M(u) 最大の公平なマッチングを効率的に見つけることができますか? 興味深いケースは、グラフが2部構成であり、公平性が片側にのみ適用される場合です。つまり、であると想定し、利益関数が与えられます。G=(L∪R,L×R)G=(L∪R,L×R)G=(L\cup R,L\times R)p:L×R→Np:L×R→Np:L\times R\to \mathbb N A フェア二部マッチングがでマッチングあるような任意の2つの頂点のための: GGGu,v∈Lu,v∈Lu,v\in L(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(∀w∈R: p({v,w})≥p({u,w}))→M(v)≥M(u)(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u) 最大ウェイトの公平な2部マッチングをどれくらい速く見つけることができますか? この問題の動機は、2つの部分からなる特殊なケースにあります。ワーカーとタスクがあり、ワーカーが作業から利益を生み出すことができると仮定します。ここで問題になるのは、合理的な設計をすることです(ある意味では、労働者は「はぎ取られた」とは感じません)一方で、総ペイオフを最大化します(割り当てメカニズムの力と社会的利益の間にはトレードオフがあります)。nnnmmmiiipi,jpi,jp_{i,j}jjj 労働者の仕事への割り当ての社会福祉(または工場の利益)を利益の合計として定義する場合。 ジョブアサイナの機能に関するさまざまなシナリオを見ると、次の結果が得られます。 任意のワーカーを任意のジョブに割り当てることが許可されている場合は、工場を効率的に最適化できます(最大重量のマッチングを見つけるだけです)。 すべてのワーカーが自分でタスクを選択した場合、自分の仕事が選択されると想定して(各ジョブで選択できるのは1つの仕事のみ)、タスクを選択した最も適格なワーカーである場合、ワーカーは「貪欲」に収束します。 '平衡。その理由は、最も多く稼ぐことができるワーカー()が最も収益性の高いジョブを選択する、などです。マッチングの貪欲アルゴリズムの近似率により、これは可能な最大の社会福祉の2近似を与えるはずです。i=argmaximaxjpi,ji=argmaximaxjpi,ji=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j} …

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二部グラフのマッチングをカウントする複雑さ
明らかなものが足りないかもしれませんが、2部グラフのマッチング(完全なマッチングではない)の数え方の複雑さについてのリファレンスは見つかりません。ここに正式な問題があります: 入力:A二部グラフG=(U,V,E)G=(U,V,E)G = (U, V, E)とE⊆U×VE⊆U×VE \subseteq U \times V 出力:のマッチングの数、マッチングがサブセットであるF ⊆ E全く存在しないように、V ∈ U ⊔ Vの2つの縁部で生じるFは。GGGF⊆EF⊆EF \subseteq Ev∈U⊔Vv∈U⊔Vv \in U \sqcup VFFF この問題の複雑さは何ですか?#P-hardですか? この論文では、2部グラフの完全一致のカウントが#P-hardであることはよく知られており、任意のグラフ(または平面3正則グラフ)の一致のカウントは#P-hardであることがわかっていますが、私はしませんでした2部グラフの完全ではないマッチングの数え方について何でも見つけます。
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