最大の「公平な」マッチング

グラフの最大重みマッチングのバリエーションに興味があります。これを「最大公正マッチング」と呼びます。

グラフがいっぱいで（つまり $E=V\times V$ ）、頂点の数が偶数であり、重みが利益関数によって与えられると仮定し。一致する与えられると、エッジ利益が一致するによって示されます。 $p:{V\choose 2}\to \mathbb N$ $M$ $M(v)$ $v$

一致するは、任意の2つの頂点について、公平に一致するiffです： $M$ $u,v\in V$

(\forall w \in V : p ({w, v}) \geq p ({w, u})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in V:\ \ p(\{w,v\})\geq p(\{w,u\}))\to M(v)\geq M(u)$

つまり、任意の頂点、を頂点一致させると、それを頂点一致させるよりも高い利益が得られる場合、公平な一致で十分です。 $w\in V$ $w$ $v$ $u$ $M(v)\geq M(u)$

最大の公平なマッチングを効率的に見つけることができますか？

興味深いケースは、グラフが2部構成であり、公平性が片側にのみ適用される場合です。つまり、であると想定し、利益関数が与えられます。 $G=(L\cup R,L\times R)$ $p:L\times R\to \mathbb N$

A フェア二部マッチングがでマッチングあるような任意の2つの頂点のための： $G$ $u,v\in L$

(\forall w \in R : p ({v, w}) \geq p ({u, w})) \to M (v) \geq M (u)

$(\forall w\in R:\ \ p(\{v,w\})\geq p(\{u,w\}))\to M(v)\geq M(u)$

最大ウェイトの公平な2部マッチングをどれくらい速く見つけることができますか？

この問題の動機は、2つの部分からなる特殊なケースにあります。ワーカーとタスクがあり、ワーカーが作業から利益を生み出すことができると仮定します。ここで問題になるのは、合理的な設計をすることです（ある意味では、労働者は「はぎ取られた」とは感じません）一方で、総ペイオフを最大化します（割り当てメカニズムの力と社会的利益の間にはトレードオフがあります）。 $n$ $m$ $i$ $p_{i,j}$ $j$

労働者の仕事への割り当ての社会福祉（または工場の利益）を利益の合計として定義する場合。

ジョブアサイナの機能に関するさまざまなシナリオを見ると、次の結果が得られます。

任意のワーカーを任意のジョブに割り当てることが許可されている場合は、工場を効率的に最適化できます（最大重量のマッチングを見つけるだけです）。
すべてのワーカーが自分でタスクを選択した場合、自分の仕事が選択されると想定して（各ジョブで選択できるのは1つの仕事のみ）、タスクを選択した最も適格なワーカーである場合、ワーカーは「貪欲」に収束します。 '平衡。その理由は、最も多く稼ぐことができるワーカー（）が最も収益性の高いジョブを選択する、などです。マッチングの貪欲アルゴリズムの近似率により、これは可能な最大の社会福祉の2近似を与えるはずです。 $i=\mbox{argmax}_i \max_j p_{i,j}$

その間に何かを探しています。労働者を仕事に割り当てることができると仮定しますが、「資格のない」労働者は彼らよりも多くの収入を得ないと約束しなければなりません。

どうすれば、従業員に有望な「公平性」を約束する最大の重みを効率的に見つけることができますか？

— RB
ソース

接線的に、2番目の（2部構成の）ケースでは、最初のワーカーの利益をする「不公平」なマッチングがあるにもかかわらず、すべての「フェア」なマッチングが最初のワーカーに利益1を与え、残りをゼロにする例を構築するのは簡単なようです。と他のすべての人は利益にします。同様に、各ワーカーに利益を与える不公平なマッチングがあったとしても、最大ウェイトの公平マッチングが各ワーカーに利益を与える例です。

1 - 2 ϵ

$1−2\epsilon$

1 - ϵ

$1−\epsilon$

2 / n

$2/n$

{1 - ϵ, 1 - 2 ϵ}

$\{1-\epsilon,1-2\epsilon\}$

— Neal Young

@NealYoung-利益が異なる場合、これらのシナリオは存在できないと想定して間違いありませんか？

— RB

選択肢を区別できないと社会福祉が大幅に低下するというゲーム理論の標準的な問題のようです。

— RB

おっと、私のコメントを取り戻します。結局、これらの例が実現可能かどうかはわかりません。

— Neal Young

あなたがそれを定義したので、私は「最大重量の公平な二部マッチング」はNPハードであると信じています。さらに、公平な二部マッチングの存在を判断することはNP困難です。

証明のスケッチを出す前に、直感的に、次の小さな例を考えてみましょう。取り、、ます。取るようにため及び、一方用の及び。次にすべてのについてであるという意味で、とは同等であるため、どのような公正なマッチングでもとに同じ利益を与える必要があります。したがって、唯一の公正な一致は、 $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $L=\{a,b\}$ $R=\{c,d,e,f\}$ $p$ $p(u,w) = 0$ $u\in L$ $w\in\{c,d\}$ $p(u,w) = 1$ $u\in L$ $w\in\{e,f\}$ $a$ $b$ $p(a, w) = p(b, w)$ $w\in R$ $a$ $b$ $a$ およびからおよび、またはおよびからおよびまでと一致ます。この種類のガジェットを使用して、マッチングでエッジの調整を強制できます。これが削減の根拠です。 $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $e$ $f$

これが証明の試みです。少し複雑です。おそらくいくつかの間違いがありますが、うまくいけば、すべての間違いを修正できます。

補題1 が与えられるとかどうかを決定する、という問題に記載されているように公正なマッチングを含有NPであります-ハード。 $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$

証明スケッチ。証明は、3次グラフの独立セットからの削減です。ましょう独立集合の所与のインスタンスである立方体グラフ（すべての頂点度3を有する）です。我々は、グラフ構築する方法を記述、利益関数ように、フェア二部マッチングがある場合とにサイズ独立したセットがある場合のみ。 $(G=(V,E),k)$ $G'$ $G'=(L, R, E'=L\times R)$ $p:E'\rightarrow\mathbb{R}_+$ $G'$ $G$ $k$

の頂点は、パートナーと呼ばれるペアになっています。同様にの頂点についても同様です。各頂点について、にのパートナーを示します。各頂点とそのパートナーは同等です。つまり、したがって、公正なマッチングでは、同じ利益をおよび割り当てる必要があります。以下では、を使用しての値を示します。 $L$ $R$ $v\in L\cup R$ $v'$ $v$ $\ell\in L$ $\ell'\in L$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r) for all r \in R .

$p(\ell, r) = p(\ell', r) \text{ for all } r\in R.$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

π (ℓ, r)

$\pi(\ell, r)$

p (ℓ, r) = p (ℓ^{'}, r)

$p(\ell,r) = p(\ell', r)$

さらに、各対についてで、及びパートナーの各対はにおいてのいずれかで、我々は作るまたは我々が作る前者の場合、およびをおよび一致させることを許可すると言います（そうすると、必要に応じておよびに同じ利益が割り当てられます）。後者の場合、とが（両方）と一致するのを防ぐと言います。 $\ell$ $L$ $r, r'$ $R$

π (ℓ, r) = π (ℓ, r^{'})

$\pi(\ell, r) = \pi(\ell, r')$

π (ℓ, r) \neq π (ℓ, r^{'}) .

$\pi(\ell, r) \ne \pi(\ell, r').$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

r

$r$

r^{'}

$r'$ （そうすることはと同じ利益を割り当てないためです）。

ℓ

$\ell$

ℓ^{'}

$\ell'$

与えられたグラフは3次なので、満たし、および任意の独立集合サイズのにおける正確に入射される縁。表記を簡単にするために、と仮定します。 $G=(V,E)$ $3|V|=2|E|$ $I$ $k$ $G$ $3k$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$

各エッジ、以下を実行します。 $\{i, j\}\in E$

パートナー頂点のペアを追加します。 $r(\{i,j\}), r'(\{i,j\})$ $R$
エンドポイント場合、パートナー頂点のペアをに追加します。セット可能とに一致すると。 $i$ $\ell(i,j), \ell'(i,j)$ $L$
$π (ℓ (i, j), r ({i, j})) = π (ℓ (i, j), r^{'} ({i, j})) = i,$ $\pi(\ell(i,j), r(\{i,j\})) = \pi(\ell(i,j), r'(\{i,j\}))= i,$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$
対称的に、他のエンドポイント：パートナー頂点の別のペアをに追加し、および許可およびと照合されます。 $j$ $\ell(j,i), \ell'(j,i)$ $L$
$π (ℓ (j, i), r ({i, j}) = π (ℓ (j, i), r^{'} ({i, j})) = j,$ $\pi(\ell(j,i), r(\{i,j\}) = \pi(\ell(j,i), r'(\{i,j\}))= j,$ $\ell(j,i)$ $\ell'(j,i)$ $r(\{i,j\})$ $r'(\{i,j\})$

毎及びこれまで、一対て添加明示的に許可されていない（上記）に一致するように、次に割り当てることによって一致を防ぐとそれぞれに一意の番号。 $\ell\in L$ $r\in R$ $\ell, \ell'$ $r, r'$ $\pi(\ell, r)$ $\pi(\ell, r')$

次に、ペアのフィラー頂点をに追加します。各フィラー頂点および各に対して、ます。 $3(|V|-k)$ $R$ $r$ $\ell(i,j)\in L$ $\pi(\ell(i,j), r) = 0$

最後に、2つの頂点および（パートナー）をに追加し、さらに2つの頂点および（これもパートナー）をます。セット可能、とに適合すると。他のすべての頂点、を一意の数に設定します。（したがって、公平な一致はおよびからおよび一致する必要があります。）すべての $L_0$ $L'_0$ $L$ $R_0$ $R'_0$ $R$ $\pi(L_0, R_0) = \pi(L_0, R'_0) = 1$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $r\in R$ $\pi(L_0, r)$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ 、すべての入射エッジ、および。 $\{i,j\}\in E$ $\pi(\ell(i,j), R_0) = i$ $\pi(\ell(i,j), R'_0) = |V|-i+1$

これで削減は完了です。最後に、それが正しいことを証明します。

最初に、頂点のペアが前者を支配するかどうかを検討します。つまり、 $\ell(i,j),\ell(i',j')\in L$

(\forall r \in R) π (ℓ (i, j), r) \leq π (ℓ (i^{'}, j^{'}), r) .

$(\forall r\in R)~\pi(\ell(i,j),r) \le \pi(\ell(i',j'), r).$

および付随するエッジに割り当てられた利益を考慮すると、この条件は場合にのみ満たすことができ、残りのエッジのの定義を検査すると、条件で十分です。したがって、とをと、かつ各について、すべての頂点に同じ利益を与える場合にのみ、マッチングは公平 $R_0$ $R'_0$ $i=i'$ $\pi$ $i=i'$ $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$

N (i) = {ℓ (i, j) : {i, j} \in E} \cup {ℓ^{'} (i, j) : {i, j} \in E} .

$N(i) = \{\ell(i,j) : \{i,j\}\in E\} \cup \{\ell'(i,j) : \{i,j\}\in E\}.$

まず、にサイズ独立したセットがあると仮定します。次のように、公平なマッチングをから取得します。 $G$ $I$ $k$ $G'$ $I$

マッチとにと。 $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$

各頂点について、 3つの入射エッジとします。各エッジ、頂点およびそのパートナーをおよび。これは、内のすべての頂点与え利益。 $i\in I$ $\{i,j_1\}, \{i,j_2\}, \{i,j_3\}$ $\{i, j_h\}$ $\ell(i,j_h)$ $\ell'(i,j_h)$ $r(\{i,j_h\})$ $r'(\{i, j_h\})$ $N(i)$ $i$

それぞれについて頂点 3辺のそれぞれについて、に入射、一致、そのパートナーフィラー頂点とそのパートナー一意のペアに。これにより、すべての頂点の利益がます。 $|V|-k$ $i\in V\setminus I$ $\{i,j\}$ $i$ $\ell(i,j)$ $\ell'(i,j)$ $r$ $r'$ $N(i)$ $0$

したがって、このマッチングは公平です。

次に、がほぼ一致していると仮定します。 $G'$ $M$

$M$ はおよびをおよび一致さがあり。各について、マッチングはの各頂点に同じ利益を与える必要があります。各、そのパートナーもます。したがって、削減の検査により、そのような各頂点の利益は（この場合、 6つの頂点すべてが頂点およびそれらのパートナーに一致します）またはゼロでなければなりません。（この場合、 6つの頂点すべてがフィラー頂点に一致します）。しましょう $L_0$ $L'_0$ $R_0$ $R'_0$ $i\in V$ $N(i)$ $\ell(i,j)\in N(i)$ $\ell'(i,j)$ $N(i)$ $i$ $N(i)$ $r(\{i,j\})$ $N(i)$ $R$ $I$ は前者のケースが当てはまる頂点の集合です。各エッジについて、頂点とそのパートナーは、それぞれ1つの頂点に一致します。つまり、は独立したセットです。フィラー頂点の数はであるため、のサイズは少なくともでなければなりません。 $\{i,j\}$ $r(\{i,j\})$ $I$ $6(|V|-k)$ $I$ $k$

QED（？）

少し複雑であれば、基本的には正しいと思います。間違いがあるかどうか、または証明を簡略化する方法があるかどうかをお知らせください。

上記の削減は、をとっても問題ないことを前提としています。それが望ましくない場合は、に埋め込むことができると思いますフィラー頂点およびへのエッジを除くすべてのエッジに利益0を割り当てます。後者のエッジに利益を割り当てて、フィラーの頂点が他の頂点に支配されない（または支配されない）ようにすることができます。 $|R|>|L|$ $L$ $|R|-|L|$ $R_0$ $R'_0$

— ニール・ヤング
ソース