二部グラフのマッチングをカウントする複雑さ

明らかなものが足りないかもしれませんが、2部グラフのマッチング（完全なマッチングではない）の数え方の複雑さについてのリファレンスは見つかりません。ここに正式な問題があります：

入力：A二部グラフ $G = (U, V, E)$ と $E \subseteq U \times V$
出力：のマッチングの数、マッチングがサブセットである全く存在しないように、の2つの縁部で生じる。 $G$ $F \subseteq E$ $v \in U \sqcup V$ $F$

この問題の複雑さは何ですか？＃P-hardですか？

この論文では、2部グラフの完全一致のカウントが＃P-hardであることはよく知られており、任意のグラフ（または平面3正則グラフ）の一致のカウントは＃P-hardであることがわかっていますが、私はしませんでした2部グラフの完全ではないマッチングの数え方について何でも見つけます。

counting-complexity matching bipartite-graphs

— a3nm
ソース

このアルゴリズムには問題があるようです。結果では、左側または右側のすべてのノードが2satソリューションに含まれていない場合があるため、正確なカウントアルゴリズムが機能しません。2satへの還元を使用して導出された単一の最大2部マッチングソリューションのアルゴリズムを知っている人はいますか？

— user3700810 2018

回答:

2部グラフでこのような「不完全な」マッチングをカウントする問題は、＃P完全です。
これは、Les Valiant自身の415ページの論文で証明されています

Leslie G. Valiant
列挙と信頼性の問題の複雑さ
SIAM J. Comput。、8（3）、410–421

— ガモフ
ソース

よさそうだ、ありがとう！この単純な事実がWikipediaのページ（またはWeb上の他の場所）に明確に記載されていなかった理由はわかりません。私はそれに応じてウィキペディアを改善しました：en.wikipedia.org/w/…ありがとうございます！

— a3nm 2016

大学での複雑性理論のクラスで1週間、宿題の唯一の問題は、＃BIPARTITE PERFECT MATCHINGから削減して＃2-SATが#P完全であることを証明することでした。結局、全員が一丸となって取り組んだとしても、誰もそれを解決することはできませんでした。

次のクラスでは、教授は私たち全員がそれを見つけたのがどれほど難しいかに驚いて、彼の証拠を提示しました。それは間違っていました。幸いなことに、1つのスマートCookieで適切な削減を行うことができましたが、これはまったく正気でなく、非常に複雑でした。ちなみに、教授はチューリング賞を受賞しています:)

とにかく、私とクラスメートはその問題を解決できませんでしたが、＃BIPARTITE MATCHINGから＃2-SATに減らすという簡単な問題を解決することができました。

$≤_p$

$G = (V,E)$

A = {a_{i} ∣ i \in [n]}, B = {b_{i} ∣ i \in [m]}

$A = \{a_i \mid i∈[n]\}, \quad B = \{b_i \mid i∈[m]\}$

| A | = n

$|A|=n$

| B | = m

$|B|=m$

$G$ $φ$ $φ$ $G$ $a_ib_j ∈ E$ $x_{ij}$ $x_{ij}$ $a_ib_j$ $i$

A_{i} = \underset{j < k}{⋀} (\neg x_{i j} \lor \neg x_{i k}), B_{i} := \underset{j < k}{⋀} (\neg x_{j i} \lor \neg x_{k i})

$A_i = \bigwedge_{j < k} (¬x_{ij} ∨ ¬x_{ik}), \quad B_i := \bigwedge_{j<k} (¬x_{ji} ∨ ¬x_{ki})$

A_{i}

$A_i$

x_{i j}

$x_{ij}$

x_{i j}

$x_{ij}$ およびはtrueです。次に、は偽であり、も偽です。についても同様です。まかせ我々は持っている、各頂点場合にのみ満たされ、したがって、我々は選択し多くても1つのエッジに入射し、そしてエッジはマッチングを形成します。

x_{i k}

$x_{ik}$

(\neg x_{i j} \lor \neg x_{i k})

$(¬x_{ij} ∨ ¬x_{ik})$

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$

C = ⋀_{i = 1}^{n} A_{i} \land ⋀_{i = 1}^{m} B_{i}

$C = \bigwedge_{i=1}^n A_i ∧ \bigwedge_{i=1}^m B_i$

C

$C$

G

$G$

— Gardenhead
ソース

ここに何か欠けているに違いないと思います。これは、＃BIPARTITE_MATCHINGの任意のインスタンスを＃2-SATのインスタンスとしてエンコードできることを示しているようです。しかし、あなたが＃2-SATの任意のインスタンスを#BIPARTITE_MATCHINGのインスタンスとしてエンコードできることを示しようとしていると思いましたが、違いますか？

— ムム

おっと、あなたは正しい。これは古い宿題の問題から取り除かれ、私は実際に質問を書き留めておらず、私の答えだけを書き留めました。問題は、＃2-SATが＃P-Completeであることを示し、＃BIPARTITE-PERFECT-MATCHINGが＃P-completeであることを確認することでした。編集します。

— Gardenhead、2016

@gardenhead：ご回答ありがとうございます！これは興味深いですが、これは私の質問とあまり関係がないと思いますか？これは、＃BIPARTITE-MATCHINGが#Pにあることを示しているだけで、それほど驚くことではありません。

— a3nm 2016

この回答の削減は正しいようですが、質問とは無関係のようです。しかし、私は@ a3nmのコメントを理解していません。また、答えの序文にあるストーリーもフォローしていません（3つの異なる削減を混乱させています）。

— アンドラス・サラモン

＃MONO-2SATを#BIPARTITE PERFECT MATCHINGに削減する方法を見つけましたが、証明はそれほど単純ではありません。