理論計算機科学

ましょう、我々はと呼ぶ関数である類似度関数。類似性関数の例は、コサイン距離、ノルム、ハミング距離、ジャカード類似性などです。d:{0,1}k×{0,1}k→Rd:{0,1}k×{0,1}k→Rd:\{0,1\}^k\times \{0,1\}^k \to \mathbb{R}l2l2l_2 長さバイナリベクトルを考えます：。nnnkkkv⃗ ∈({0,1}k)nv→∈({0,1}k)n\vec{v} \in (\{0,1\}^k)^n 私たちの目標は、類似するベクトルをグループ化することです。より正式には、ノードがベクトルで、エッジが類似するベクトルを表す類似性グラフを計算します（）。d(v,u)≤ϵd(v,u)≤ϵd(v,u) \leq \epsilon nnnとは非常に大きな数値であり、2つの長さベクトルを比較するとコストがかかるため、総当たりの操作をすべて実行することはできません。大幅に少ない操作で類似性グラフを計算したいと考えています。kkkkkkO(n2)O(n2)O(n^2) これは可能ですか？そうでない場合、類似性グラフのすべてのエッジに加えて、多くても他のエッジを含むグラフの近似を計算できますか？O(1)O(1)O(1)

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最速の既知の無向グラフ同型アルゴリズムは何ですか？

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ある有限体上の線形方程式系を解く複雑さについて何が知られていますか？解を計算するアルゴリズム（Gauss）が存在することと、スパースシステムにはさらに優れたアルゴリズムがあることを知っています。しかし、私はこの問題について複雑さの理論的な特徴があるかどうか疑問に思っていました。たとえば、内の対応する決定問題であるN Cは？複雑度クラスは完全ですか？O （n３）O（ん３）O(n^3)N CNC\mathbf{NC}

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ましょう演算回路によって与えられる多項式であるCサイズのS。入力としてCが与えられた場合、Q [ x 1、x 2、… 、x n ]のfのすべての既約係数が線形形式であるかどうかをチェックする決定論的アルゴリズムはありますか？関連するノートでは、線形形式l = ∑ n i =f∈Q[x1,x2,…,xn]f∈Q[x1,x2,…,xn]f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]CCCsssCCCfffQ[x1,x2,…,xn]Q[x1,x2,…,xn]\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]、我々かどうか確定確認することができ、Lはの要因である、F。もちろん、どちらの場合も実行時間を多項式にする必要があります。サイズとは、総ビットサイズを意味します。また、fの次数はnの多項式であると想定できます。l=∑ni=1li⋅xil=∑i=1nli⋅xil=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}lllffffffnnn

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これは古典的な秘書問題の延長です。 採用ゲームでは、候補者セットがあり、各労働者の熟練度を注文します。C={c1,…,cN}C={c1、…、cN}\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\} Wlogでは、が最も熟練していると想定し、c 2がそれに続きます。c1c1c_1c2c2c_2 候補者の面接の順序はランダムに一律に選ばれ、雇用主には（明らかに）不明です。 次に、2つの潜在的な雇用主を持つ市場があるとします。すべてのラウンドで、新しい候補者が両社の面接を行います（それらをと呼びます）。面接では、AとBの両方が、現在の面接対象者を含む過去のすべての候補者の部分的な順序付けを観察します。次に、企業は（独立して）今日の応募者を採用するかどうかを決定します。A,Bあ、BA,BAあABBB にとって残念なことに、それはAの申し出と金銭的に競合することができないので、両方が労働者への申し出を延長する場合、Aが優先されます。BBBAあAAあA また、秘書が署名すると、会社はそれ以上の候補者に面接することはできず、競合他社は署名に気づきます。 各会社の目標は、より優れた秘書を持つ会社が引き継ぐことができるはずであることが知られているため、（単一の会社が最高の秘書を見つけたいという古典的な問題とは対照的に）よりスキルの高い候補者を雇うことです。市場。 大企業としての最適な戦略は何ですか（）？AあA 中小企業（）はどうですか？BBB 両方の企業が均衡戦略をとる場合、がより良い労働者を獲得する確率はどれくらいですか？BBB 関連する作業、カライら。は、この問題の対称バージョンについて説明します。このバージョンでは、両社が候補者を引き付ける同じ力を持っています。 この設定では、単純な（対称）均衡は、秘書が残りの候補者よりも優れている可能性が少なくとも50％である場合に秘書を雇うことです。 これにより、設定はどのように変化しますか？

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我々は、ブール関数を持っていると言うと我々が適用δ -randomに制限Fを。さらに、ランダムな制限の結果として、fを計算する決定木TがサイズO （1 ）に縮小するとします。これはfの影響が非常に低いことを意味しますか？f:{−1,1}n→{−1,1}f:{−1,1}n→{−1,1}f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}δδ\deltafffTTTfffO(1)O(1)O(1)fff

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申し訳ありませんが、これは少し「やわらかい」質問です。 情報理論には計算の複雑さの概念はありません。たとえば、SATのインスタンス、またはSATのインスタンスと充足可能性を示すビットが同じ量の情報を伝送します。 「多項式で知っている」という概念を形式化する方法はありますか？ そのようなフレームワークは、たとえば、ランダム変数X相対Y間の多項式KL発散の概念を、Yが与えられた多項式時間でXを計算するために必要なビット数として定義できます。 同様に、確率変数Xのエントロピーは、多項式時間でデコードできる方法でXをエンコードするために必要なビット数として定義できます。 そのような一般化は研究されましたか？一貫性を持たせることはできますか？

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クラスタ内の平方和が最小になるように、ポイントのセットを2つの等しいサイズのサブセットに分割したいと思います。ポイントは2次元のユークリッド空間にあると想定できます。k = d = 2の場合、一般的なk平均クラスタリングアルゴリズムよりも高速なものを期待しています。誰かがこのための良いアルゴリズムの方向に私を向けることができますか？ 適切な近似があれば、正確な解は必要ありません。 ありがとう！

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2つのnビット整数を乗算する回路のゲート数の最良の結果は何ですか？ 明らかな方法は、ゲートを生成します。およびゲートを使用したより良いアプローチがあり。θ(n2)θ(n2)\theta(n^2)θ(nlognloglogn)θ(nlog⁡nlog⁡log⁡n)\theta(n\log n \log\log n)θ(nlogん2log∗（n ））θ(んログ⁡ん2ログ∗⁡（ん））\theta(n\log n2^{\log^*(n)}) ゲートの乗算を処理できるブール回路ファミリは見つかりませんでした。そのような回路のファミリーは存在するのだろうか。んlogんんログ⁡んn\log n

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すべてのCFGに対するあいまいな CFG の比率はどのくらいですか？ 両方のセットは無限に無限であるため、比率は明確に定義されていません。しかし、何についての漸近密度： リムnは↦ ∞＃ サイズ&lt; nのあいまいなCFG＃ サイズ&lt; nのCFGlimn↦∞# ambiguous CFG of size&lt;n# CFG of size&lt;n\lim_{n \mapsto \infty}\frac {\# \text{ ambiguous CFG of size} < n} {\# \text{ CFG of size} < n} ここで、終端記号と非終端記号は、固定の可算セットから来ています。 文法のサイズは、文法のサイズの合理的な概念です。たとえば、 プロダクションルール内の変数と端子の出現の総数、または 変数の出現回数の合計、または 生産ルールの総数、または 個別の変数の数。 （サイズの定義は回答に影響しないと想定しています。）

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準同型グラフからのグラフにG ' = （V '、Eは'）のマッピングであるFからVにV 」ようにあれば、XとYが隣接しているE次いでfを（X ）とf （y ）はE 'で隣接しています。グラフGの準同型G=(V,E)G=（V、E）G = (V, E)G′=(V′,E′)G』=（V』、E』）G' = (V', E')fffVVVV′V』V'xバツxyyyEEEf(x)f（バツ）f(x)f（y）f（y）f(y)E』E』E'GGGからそれ自身への準同型です。それは固定小数点フリーないがあれば、Xように、F （X ）= Xがあり、非自明でそれが同一でない場合。GGGバツバツxf（x ）= xf（バツ）=バツf(x) = x 私は最近、正則（およびグラフ）自己同型、つまりその逆も同型である全単射の同型に関連する質問をしました。自己同型の数え上げ（およびその存在の決定）に関連する研究を見つけましたが、検索したところ、自己同型に関連する結果は見つかりませんでした。 したがって、私の質問：グラフ与えられた場合、Gの自明でない準同型の存在を決定すること、または同型の数を数えることの複雑さは何ですか？固定小数点のない準同型についても同じ質問です。GGGGGG 私はこの回答で与えられた議論は準同型写像にまで及び、有向二部グラフまたはポセットの場合は一般的なグラフの問題よりも簡単ではないことを正当化すると思います（一般的なグラフの問題はこの場合に減少します）が、その複雑さはありません決定するのは簡単に思えます。別のグラフから準同型の存在を決定することであることが知られているNP困難（それはグラフ彩色を一般化として、これは明らかである）が、それは、グラフからの準同型に検索を制限するように思える自体、簡単に問題を作るかもしれませんしたがって、これはこれらの問題の複雑さを判断するのに役立ちません。

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植え付けられたクリーク問題では、Erdos-Renyiランダムグラフ植え付けられたクリークを復元する必要があります。これは主にで確認されており、この場合、場合は多項式時間で解けることが知られており、強く推測されます。G （n 、p ）p = 1kkkG(n,p)G(n,p)G(n,p) k&gt;√p=12p=12p=\frac{1}{2} k&lt; √k&gt;n−−√k&gt;nk > \sqrt{n}k&lt;n−−√k&lt;nk< \sqrt{n} 私の質問は：他の値について何が知られている/信じられていますか？具体的には、一定である？そのようなすべての値に対して、問題が計算的に難しいいくつかのが存在するという証拠はありますか？P [ 0 、1 ] のP K = N αpppppp[0,1][0,1][0,1]pppk=nαk=nαk=n^{\alpha} 以外の値の問題を調べる文献を見つけることができなかったので、参照は特に役立ちます。p=12p=12p=\frac{1}{2}

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古典的な#P完全問題＃3SATを検討してください。つまり、評価の数を数えて、変数を持つ3CNFを充足可能にします。加法近似性に興味があります。明らかに、2 n − 1-エラーを達成するための自明なアルゴリズムがありますが、k &lt; 2 n − 1の場合、効率的な近似アルゴリズムを使用することは可能ですか、またはこの問題も#P困難ですか？んnn2n − 12n−12^{n-1}k &lt; 2n − 1k&lt;2n−1k<2^{n-1}

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ほとんどの依存型付きシステムには、帰納型の厳密な陽性条件があります。条件違反がシステムの不整合につながる例を誰かが知っていますか？

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いくつかの質問（があった1、2、3、このようなものが可能であるなら、私は考えて作られた、ここで推移完了について）： 我々は、入力有向グラフ取得を前提とGGGと型のクエリに応答したいと思います「（U 、V ）∈ G+（あなた、v）∈G+(u,v)\in G^+？」、グラフの推移完了に2つの頂点間のエッジが存在する場合、すなわち尋ねるGGG？（等価的に、「からパスがあなたあなたuにvvvでGGG？」）。 与えられたGGG後、時間f（n 、m ）f（ん、メートル）f(n,m)前処理を実行でき、時間クエリに応答する必要があると仮定します。g（n 、m ）g（ん、メートル）g(n,m) 明らかに、（つまり、前処理が許可されていない）の場合、実行できる最善の方法は、時間内にクエリに応答することです。（から DFSを実行し、パスが存在する場合はtrueを返します）。f= 0f=0f=0g（n ）= Ω （n + m ）g（ん）=Ω（ん+メートル）g(n)=\Omega(n+m)あなたあなたuvvv 別の些細な結果は、その場合f= Ω （M I N { N ⋅ M 、Nω} ）f=Ω（メートル私ん{ん⋅メートル、んω}）f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})あなたは推移閉包を計算した後でクエリに答えることができる。O （1 ）O（1）O(1) 途中の何かはどうですか？許可されている場合、たとえば前処理時間で、よりも速くクエリに回答できますか？多分それを改善しますか？f= n2f=ん2f=n^2O （m + n ）O（メートル+ん）O(m+n)O （n ）O（ん）O(n) もう1つのバリエーションは前処理時間があるが、スペースしかない場合、前処理を使用してよりも効率的にクエリに答えることができますか？P O LのY（n 、m ）poly（ん、メートル）poly(n,m)o （n2）o（ん2）o(n^2)O （n + …

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