グラフの準同型のカウントの複雑さ

準同型グラフからのグラフにのマッピングであるからにようにあればと隣接している次いでとは隣接しています。グラフの準同型 $G = (V, E)$ $G' = (V', E')$ $f$ $V$ $V'$ $x$ $y$ $E$ $f(x)$ $f(y)$ $E'$ $G$ からそれ自身への準同型です。それは固定小数点フリーないがあればようにがあり、非自明でそれが同一でない場合。 $G$ $x$ $f(x) = x$

私は最近、正則（およびグラフ）自己同型、つまりその逆も同型である全単射の同型に関連する質問をしました。自己同型の数え上げ（およびその存在の決定）に関連する研究を見つけましたが、検索したところ、自己同型に関連する結果は見つかりませんでした。

したがって、私の質問：グラフ与えられた場合、自明でない準同型の存在を決定すること、または同型の数を数えることの複雑さは何ですか？固定小数点のない準同型についても同じ質問です。 $G$ $G$

私はこの回答で与えられた議論は準同型写像にまで及び、有向二部グラフまたはポセットの場合は一般的なグラフの問題よりも簡単ではないことを正当化すると思います（一般的なグラフの問題はこの場合に減少します）が、その複雑さはありません決定するのは簡単に思えます。別のグラフから準同型の存在を決定することであることが知られているNP困難（それはグラフ彩色を一般化として、これは明らかである）が、それは、グラフからの準同型に検索を制限するように思える自体、簡単に問題を作るかもしれませんしたがって、これはこれらの問題の複雑さを判断するのに役立ちません。

— a3nm
ソース

について、準同型または固定小数点なしの同型のカウントが完了します。接続されたグラフ与えられた場合、と三角形の分離した結合であるグラフを考えます。その後 $\mathsf{FP}^{\mathsf{\# P}}$ $G$ $G'$ $G$ $|\text{End}(G')| = (|\text{End}(G)| + \# 3COL(G))(\#\{\text{triangles in } G\} + 3^3)$ 、したがっては、2つの準同型性カウント（および一般的な結果では1つでも十分）といくつかのポリタイム後処理を使用して計算できます。三角形の数は、3次（または行列乗算）時間でカウントできることに注意してください。3つのカラーリングと三角形は固定小数点のない準同型であるため、同じ方程式が固定小数点のない準同型に当てはまります。 $\# 3COL$ $G'$

ご希望の場合接続されるように以下のように、あなたが行うことができます。最初に、頂点色のグラフの準同型（色の頂点は色他の頂点にのみマップできる）をカウントすることは、次のようにグラフの同型をカウントすることと同じです。色はとしよう。各頂点のための色の、新しいばらばらに追加奇数サイクルサイズの少なくとも（ $G'$ $c$ $c$ $\{1,...,C\}$ $v$ $c$ $C_v$ $n + 2c$ ）、との接続する1つの頂点に。すべての準同型写像は、新しいグラフの同型写像に対応します（各サイクルについて、マッピング方法には2つの選択肢があります）。サイクルが大きすぎるため、のどの頂点も頂点にマッピングできないことに注意してください（あるサイクルを別のサイクルに収める必要がありますが、奇数のサイクルではできません）。 $n=|V(G)|$ $C_v$ $v$ $G$ $2^n$ $G$ $C_v$

ここで、接続されているバージョンを作成するには、色付きのバージョンから始めて、上記の変換を適用します。前と同じように、に互いに素な三角形追加します。今、単一の新しい頂点を追加ですべての頂点に接続された。色赤、他のすべての頂点は青。 $G'$ $G$ $\Delta$ $v_0$ $G \cup \Delta$ $v_0$

— ジョシュア・グロコウ
ソース

ありがとう！の正確な式はわかりません

（私は

| E n d (G^{'}) |

$|\mathrm{End}(G')|$

(| E n d (G) | + # 3 C O L (G)) (# t r i a n g l e s + 3^{3})

$(|\mathrm{End}(G)| + \#3COL(G))(\#triangles + 3^3)$ 、および固定小数点なしの場合も同様です）が、引数はまだ保持されます。あなたの議論の2番目の部分は、接続性を仮定しても硬度を示しています、私はそれは本当だと思いますが、それは固定小数点のない準同型（サイクルマッピングに固定小数点がある）には直接当てはまらないと思いますが、それはそれほど重要ではありません。私はもっと知りたいと思います：意思決定問題はNP困難ですか（自明ではなく、固定小数点のない準同型について）？再度、感謝します！

— a3nm 2014年

あなたはその式について正しい-私はそれを更新した。2番目の部分を固定小数点なしに適用するには、

から

の2つの最大距離の頂点のそれぞれからエッジを配置します。固定小数点フリーの数は少し異なりますが、まだ機能すると思います。（サイクルのサイズを増やす必要がある場合もあります...）。剛性グラフのペアの（NO非自明のEndoS）

、ののEndoSの存在を決定する

準同型の有無判定に相当する（ばらばらの組合）である

または

。ほとんどすべてのグラフは厳密なwhpであるため、決定がNP困難である可能性は十分にあります...

C_{v}

$C_v$

v

$v$

G, H

$G,H$

G \cup H

$G \cup H$

G \to H

$G \to H$

H \to G

$H \to G$

— Joshua Grochow 2014年

OK固定小数点のないカウントのためにあなたの議論を買うと思います。決定のために、私は実際に「グラフのコア」、地獄、p。8-9は、自明ではない準同型の存在を決定することはNP完全であることを証明しているようです。（固定小数点のない準同型写像の問題は残っていますが、それが難しくないと信じる理由はほとんどありません。）

— a3nm