G（n、p）で植えられたクリーク、変化するp

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植え付けられたクリーク問題では、Erdos-Renyiランダムグラフ植え付けられたクリークを復元する必要があります。これは主にで確認されており、この場合、場合は多項式時間で解けることが知られており、強く推測されます。 $k$ $G(n,p)$ $p=\frac{1}{2}$ $k > \sqrt{n}$ $k< \sqrt{n}$

私の質問は：他の値について何が知られている/信じられていますか？具体的には、一定である？そのようなすべての値に対して、問題が計算的に難しいいくつかのが存在するという証拠はありますか？ $p$ $p$ $[0,1]$ $p$ $k=n^{\alpha}$

以外の値の問題を調べる文献を見つけることができなかったので、参照は特に役立ちます。 $p=\frac{1}{2}$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— srd
ソース

はい、NP完全遷移点現象に基づくいくつかのパラメータについては難しいです。これは、SATについてより詳細に研究されていますが、クリーク問題についても保持されており、いくつか/あまり研究されていません。これは、クリーク問題とスライス関数の単調回路の下限を見つけることに密接に関連しています。サイト上にいくつかの関連する質問があります、それらを掘り下げるかもしれません。Rossmanによるクリーク関数の硬度に関する最近の論文は適合です。など...他の人が現れるかどうかによって、後で答えが出るかもしれません...

— vzn '26

パラメータ化されたクリーク tcs.seのこのQ / A 硬さは、質問に直接答えるはずです。詳細については、理論的なコンピュータサイエンスチャットで返信

— vzn 14年

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ありがとう。私は主に植え付けられたバージョンに関心があり、最悪の場合のバージョンではありません（あなたが言うように、定数pに対してNP完全です）。

— srd 2014年

[OK]を、それが現れる「植え徒党」は、一般的にG（nは、½）に制限されているあなた、この最近の論文のような状態の統計的アルゴリズムとクリーク植え検出するための下限にそれを考慮＆関連レフリーが、再びのdoesntを引用フェルドマンらによってp≠½を考慮してください。全体的な問題は、G（n、p）グラフでパラメーターのいくつかの選択（あるリンクは、リンクされたtcs.se pgのように明らかにさらに研究されている）であるサイズのクリークを見つけることに「近い」ようですが、接続が指摘されているか、他の場所で詳しく説明されている。

— vzn 2014年

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が定数の場合、モデルの最大クリークのサイズは、ほぼすべての場所で定数倍であり、定数は比例し。（Bollobás、p.283およびCorollary 11.2を参照してください。）したがって、を変更しても、クリークが小さすぎて既存のアルゴリズムによるアプローチが機能しない限り、頂点をしてクリークを植え付ける硬さに影響はありません。私はそのために一定とすることを期待してい植えクリークの硬さがちょうどのように振る舞うべきで、の場合ことは可能であるものの、ケース非常に近い0または1の動作が異なる場合があります。 $p$ $G(n,p)$ $\log n$ $\log (1/p)$ $p$ $\omega(\log n)$ $p \ne 1/2$ $p=1/2$ $p$

具体的には、のためにの同じ閾値のため植えクリークのサイズのためには、問題が多項式時間となる上に、適用されます。ここでのの値は（他の値ではない）です。これは、のLovászシータ関数がほぼ確実にと、ユハスの結果によるものです。FeigeとKrauthgamerのアルゴリズムは、Lovásztheta関数を使用して最大のクリークを見つけて認証するため、植え付けられたクリークのこのしきい値サイズに依存します。 $p\ne 1/2$ $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha = 1/2$ $\alpha$ $1/2$ $G(n,p)$ $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$

もちろん、Lovásztheta関数を使用しない別のアルゴリズムが存在する可能性があり、値がから遠い場合、頂点を持つ植えられたクリークを見つけることができます。私の知る限り、これはまだオープンです。 $p$ $1/2$ $n^{1/3}$

FeigeとKrauthgamerは、が定数ではなくに依存し、0に近いか1に近い場合についても説明します。これらの場合、植え付けられたクリークを見つけるための他のアプローチが存在し、しきい値のサイズが異なります。 $p$ $n$

BélaBollobás、Random Graphs（2nd edition）、Cambridge University Press、2001年。
ファレンサ・ジュハスツ、「Lovászの漸近的振る舞いランダムグラフの機能 $\vartheta$ 、Combinatorica 2（2）153-155、1982 DOI：10.1007 / BF02579314
Uriel FeigeとRobert Krauthgamer、セミランダムグラフで大きな隠されたクリークを見つけて認証する、ランダム構造とアルゴリズム16（2）195–208、2000。doi：10.1002 /（SICI）1098-2418（200003）16：2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

— アンドラスサラモン
ソース

ありがとう。これは最先端の技術を要約しているようであり、決定的なものは何も知られていないことを確認しています。あなたが指摘するように、問題が同様に振る舞うことの最も良い証拠は、Lovaszシータ関数の値であるようです。

— 2014

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植え付けられたクリークは、この問題の特別なケースであり、p2などに記載されている新しい結果（下限）であり、関連する参照が含まれています。（2015） $p \neq \frac{1}{2}$

（決定論的）指数時間仮説を仮定して、誘導されたクリケのあるグラフと、すべての部分グラフの密度が最大であるグラフを区別するには、時間。 $k$ $k$ $1 −\varepsilon$ $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$

Densest-ためのETH硬度パーフェクト網羅性と-Subgraph $k$ / Braverman、コ、ルービンシュタイン、ワインスタイン

— vzn
ソース

0

SVDアルゴリズムに基づく任意のp≠½のアルゴリズムを含む新しい論文を紹介します。隠された（植え付けられた）クリークの分析については、4ページを参照してください。

隠しパーティションを見つけるためのシンプルなSVDアルゴリズム Van Vu

概要。ランダムな環境で非表示のパーティションを見つけることは一般的かつ重要な問題であり、サブクリークとして、非表示のクリークの検索、非表示のカラーの検索、非表示の2パーティションの検索など、多くの有名な質問が含まれます。このホワイトペーパーでは、簡単なSVDを提供します。この目的のためのアルゴリズム、マクシェリーの質問に答えます。このアルゴリズムは実装が非常に簡単で、密度が最適なスパースグラフで機能します。

— vzn
ソース

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これはでも機能しますが、任意のでは機能しません。また、定数の場合、非表示のクリークのサイズはなければならないことにも注意してください。

p = 1 / 2

$p=1/2$

p

$p$

p

$p$

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen 2014

その正確な/明確な答えを言わずに、他の論文のいくつかの改善のみの他の論文の限界。紙の詳細など、さまざまな値subjからその他の制約（クリークサイズを含む）を分析します。質問は、正確な/同時のクリークサイズ/組み合わせの制約が何であるかについてそれほど厳密ではないようです。（このペーパーでは、要求したケースの一部を実際にカバーしていないか、または質問をを厳密に制限していると解釈していますか？）

p = ½

$p=½$

p

$p$

p

$p$

p \neq ½, k = n^{α}

$p≠½, k=n^\alpha$

α

$\alpha$

— vzn