＃P-hard問題の近似

古典的な#P完全問題＃3SATを検討してください。つまり、評価の数を数えて、変数を持つ3CNFを充足可能にします。加法近似性に興味があります。明らかに、2 n − 1-エラーを達成するための自明なアルゴリズムがありますが、k < 2 n − 1の場合、効率的な近似アルゴリズムを使用することは可能ですか、またはこの問題も#P困難ですか？$n$$2^{n-1}$$k<2^{n-1}$

＃3SATの加法近似に興味があります。すなわち3CNF所与上のn個の変数（この呼び出しの割り当てを満たす数をカウントAをアップ添加エラーに）K。$\phi$$n$$a$$k$

これのいくつかの基本的な結果はここにあります：

ケース1： $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

ここに決定論的ポリタイムアルゴリズムがあります：ます。ここで、m個の任意の入力（たとえば、辞書順で最初のm個の入力）でϕを評価します。仮定ℓこれらの入力のは満足しますφ。その後、我々が知っている≥のℓにあるように少なくともℓ満足割り当て及び≤ 2 N - （M - ℓ $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$$\phi$$m$$m$$\ell$$\phi$$a \geq \ell$$\ell$$a \leq 2^n - (m-\ell)$少なくともあるように不満足な割り当ては。この間隔の長さは2 N - （M - ℓ ）- ℓ = 2 K。したがって、中点2 n − 1 − m / 2 + ℓを出力する場合、これは必要に応じて正解のk以内です。$m-\ell$$2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$$2^{n-1} -m/2 + \ell$$k$

ケース2： $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

評価：ここでは、ランダム化されたポリ時間アルゴリズムを有するでMランダム点X 1、⋯ 、X M ∈ { 0 、1 } N。ましょα = $\phi$$m$$X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$およびε=k/2n。私たちは、出力2のn⋅α。これは、ほとんどのエラーを持っているために、K我々は、必要がk個≥| 2Nα-| =2n| α-/2のn| 、|と同等 α-/2$\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$$\varepsilon = k/2^n$$2^n \cdot \alpha$$k$

$$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$$ チェルノフ限界によって、 P [ | α - / 2 のn | > ε ] ≤ 2 - Ω （M ε 2）、として E [ φ （X I）] = E [ α ] = A / 2 N。これは、 m = O （1 / $|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$ $$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$$ $\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$（そして mが 2のべき乗であることを確認してください）、その場合、少なくとも 0.99の確率で、エラーは最大で kです。$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$$m$$2$$0.99$$k$

事例3： のためのC < $k=2^{cn + o(n)}$$c < 1$

$\psi$$m$$n \geq m$$k < 2^{n-m-1}$$n = O(m/(1-c))$$\phi=\psi$$\phi$$n$$m$$\psi$$b$$\phi$$b \cdot 2^{n-m}$$n-m$$\hat{a}$$|\hat{a}-a| \leq k$$\hat{a}$$\phi$$k$

$$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$$ $b$$b$$\hat{a}$$b$$\hat{a}$

これは、このトピックをある程度発展させるBordewich、Freedman、Lovász、およびWelshへの参照です。