秘書採用ゲーム

これは古典的な秘書問題の延長です。

採用ゲームでは、候補者セットがあり、各労働者の熟練度を注文します。 $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$

Wlogでは、が最も熟練していると想定し、それに続き。 $c_1$ $c_2$

候補者の面接の順序はランダムに一律に選ばれ、雇用主には（明らかに）不明です。

次に、2つの潜在的な雇用主を持つ市場があるとします。すべてのラウンドで、新しい候補者が両社の面接を行います（それらをと呼びます）。面接では、と両方が、現在の面接対象者を含む過去のすべての候補者の部分的な順序付けを観察します。次に、企業は（独立して）今日の応募者を採用するかどうかを決定します。 $A,B$ $A$ $B$

にとって残念なことに、それはの申し出と金銭的に競合することができないので、両方が労働者への申し出を延長する場合、が優先されます。 $B$ $A$ $A$

また、秘書が署名すると、会社はそれ以上の候補者に面接することはできず、競合他社は署名に気づきます。

各会社の目標は、より優れた秘書を持つ会社が引き継ぐことができるはずであることが知られているため、（単一の会社が最高の秘書を見つけたいという古典的な問題とは対照的に）よりスキルの高い候補者を雇うことです。市場。

大企業としての最適な戦略は何ですか（）？ $A$

中小企業（）はどうですか？ $B$

両方の企業が均衡戦略をとる場合、がより良い労働者を獲得する確率はどれくらいですか？ $B$

関連する作業、カライら。は、この問題の対称バージョンについて説明します。このバージョンでは、両社が候補者を引き付ける同じ力を持っています。

この設定では、単純な（対称）均衡は、秘書が残りの候補者よりも優れている可能性が少なくとも50％である場合に秘書を雇うことです。

これにより、設定はどのように変化しますか？

ds.algorithms gt.game-theory

— RB
ソース

社/会社/巨大企業/「大手製薬会社」/「THE MAN」の場合、戦略は対称バージョンから変更されません。 $A$

その後、より少ない候補のみが表示される確率がラウンドを考えます。社が候補者を保持している場合は、を獲得する可能性があります。が候補者を保持しない場合、社は候補者を雇うことができ、社はを獲得するチャンスがあります。したがって、明らかに、この状況では会社が採用します（そして会社が採用しようとします）。 $> .5$ $A$ $> .5$ $A$ $B$ $A$ $< .5$ $A$ $B$

丁度のオッズ勝利で候補者のために、または雇うことを選択しない場合もありますが、ので雇うことを選ぶだろうより良いオッズを取得することはできません。 $.5$ $A$ $B$ $B$ $.5$

社が勝利確率が候補者を見つける前に採用した場合、より良い将来の候補者が存在する（したがって勝利する）確率はます。そのため、は、オッズの候補まで採用しません。 $A$ $>= .5$ $B$ $> .5$ $A$ $>= .5$

したがって、の戦略は対称的な場合と同じです。勝率がを最初の候補者を採用します。 $A$ $> .5$

の戦略は、の戦略を念頭に置いて形成されます。場合明らかに、前（またはその）を雇う、次いでの戦略は、より良好である次候補雇うことであるあれば、S 'を。また、候補者が勝利のオッズでやってきた場合、も採用しようとする（そしてに探し続けさせる）としても、は採用しようとする必要があります。 $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $> .5$ $B$ $A$ $B$

残っている唯一の質問は、勝利のオッズがであるときにを雇うことは常に有益ですか？答えは「はい」です。 $B$ $<= .5$

直感的に、候補者と勝つ確率があるラウンドがあるとしましょう。また、オッズ勝利で、将来の候補を（後述）「である可能性が高い」がある。次に、が前の候補者を選択することは有益です。 $.5 - \epsilon$ $> .5 + \epsilon$ $B$

してみましょうラウンドで面接候補となるのすべてのために。 $d_r$ $r$ $1 <= r <= N$

公式には、の戦略は次のとおりです。「そうすることで、そうでない場合よりも勝つ確率が高い場合、雇う」。以下はそのような決定をどのように計算するかです。 $B$ $d_r$

みましょう面接と雇用後の勝利の確率も与えられたある番目の最高のインタビュー候補。次に： $p_{r,i}$ $d_r$ $d_r$ $i$

に対してである確率 $p_{r,i} =$ $d_s < d_r$ $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

特に、は一定の精度で簡単に計算できます。 $p_{r,i}$

レッツ確率もどちらも同社がラウンドで雇ったことを考えると勝ちを通じて。 $P_{B,r}$ $B$ $1$ $r-1$

その後、雇うであろう採用した後、勝利の確率場合より良好である。 $B$ $d_r$ $d_r$ $P_{B,r+1}$

であることに注意してください。最終ラウンドの場合、は必ず雇用され、は誰も雇用せず、解雇されないためです。 $P_{B,N} = 0$ $A$ $B$

次に、ラウンド、は採用を試みることが保証され、採用しない限り成功します。したがって $N-1$ $B$ $A$

P_{B 、 N - 1} = Σ_{私 = 1}^{N - 1} \frac{1}{N - 1} {\begin{array}{lcl} p_{N - 1 、 私} & ： & p_{N - 1 、 私} < .5 \\ 1 - p_{N - 1 、 私} & ： & p_{N - 1 、 私} > = .5 \end{array}

$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$

これは再帰関数につながります：

P_{B 、 r} = Σ_{私 = 1}^{r} \frac{1}{r} {\begin{array}{lcl} 1 - p_{r 、 私} & ： & p_{r 、 私} > = .5 \\ p_{r 、 私} & ： & P_{B 、 r + 1} < p_{r 、 私} < .5 \\ P_{B 、 r + 1} & ： & そうしないと \end{array}

$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$

$P_{B,r}$ $B$ $P_{B,1}$ $N$

$B$ $N$ $N$ $B$

— bbejot
ソース