ハイパードクトリンモデルまたはトポスモデルの関係パラメトリック性はどこで調査されますか？

レイノルズは元々、2次多相ラムダ計算の関係セマンティクスを提案しました[1]。しかしながら、彼は後でこのアプローチが古典的な集合論と一致しないことを示しました[2]。ピッツは、建設的論理と一致するハイパードクトリンモデルとトポスモデル[3]のフレームワークについて説明しました。

おそらく関係のあるハイパードクトリンとトポスのモデルが開発されました。それらについてどこで読むことができますか？

• [1]タイプ、抽象化、パラメトリック多態性
• [2]ポリモーフィズムは集合論的ではありません
• [3]ポリモーフィズムは理論的、建設的に設定されます

• 技術的な理由から、パラメトリックトポスモデルに関する作業はそれほど多くありません。トポスの内部ロジックは集合論の形式であり、Fスタイルの予測インデックスとパワーセットの公理は互換性がありません。Andy Pittsの自明でないべき型は多態型のサブタイプになり得ない：

  この論文は、多形ラムダ計算と、ポーズの論理で具体化される一種の高次型理論との間の新しい限定的な関係を確立します。多形ラムダ計算のモデルの（閉じた）型のデカルト閉じたカテゴリーのトポスへの埋め込みは、ある意味で、トポスのべき型P（X）から離れた位置に多形型を配置する必要があることを示しています。 P（X）は、Xが空の場合（したがって、P（X）が終端である場合）に限り、多相型のサブタイプである。結果として、多型の集合論的モデルが存在しないというレイノルズの結果の強化が得られます。

  その結果、トポスロジックでFの型を解釈するユニバースを提供できても、集合の完全なユニバースと興味深い方法で相互作用させることはできません。しかし、すべてが失われるわけではありません！

  1. $F_\omega$

  2. ピッツの結果に対する別の反応は、集合論ではなく、依存型理論で機能することです。依存型理論には元のべき型が存在しないため、べき型と多態性の相互作用について心配する必要はありません。Atkey、Ghani、およびJohannのA Relationally Parametric Model of Dependent Type Theoryを参照してください。

• ただし、システムFの用語がロジックのオブジェクトであるハイパードクトリンっぽいモデルの構築には、そのような障害はありません。これらの線に沿った研究は、おそらく、AbadiとPlotkinによる彼らの独創的な論文A Logic for Parametric Polymorphismで開始されました。ラースBirkedalと彼の共同研究は、特定のBirkedal、Møgelberg、そしてピーターセンさんに見---これと同様のロジックのためのカテゴリモデルの策定に重く働いているリニアアバディとPlotkinロジックのカテゴリー理論的モデルシステムFリニアについての推論のためのロジックを提供し、さらに、特定のクラスのカテゴリカルモデルに関して、それが健全で完全であることの証明。