理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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証明の複雑性理論における証明へのグラフ理論的制限
証明の複雑性は、計算の複雑性理論の最も基本的な領域です。この領域の最終的な目的は、証明することです。つまり、どの証明者も、与えられた入力式の不満の証明を与えることはできません。 NP≠coNPNP≠coNPNP\neq coNP グラフは証明の正式なモデルの1つです。私の質問は、このモデルに対するさらなる制限についてです。 プルーフはDAGとして表されます。ファンイン0のノードには公理ラベルがあります。ファンアウト0の一意のノードは「false」に対応します。与えられた推論の入力規則に対して、入次数と出次数の両方を持つ各ノードには、命題を表すラベルがあります。 私の質問は： 証明DAGのクラスが制限されている場合の証明システムと関連する研究はありますか？論文、調査、講義ノートを歓迎します。 Nullstellensatz、Resolution、LS、AC0 Frege、RES（k）、多項式計算、カッティングプレーンなど、以前に研究されたプルーフシステムには、グラフ理論による特性評価がありますか？
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ブール関数を多項式で表す
我々はからブール関数持た想定。本当の多変数多項式ことは明らかであるP （X ）、その結果、F （X ）= P （X ）上のx ∈ { 0 、1 } nが多重線形とすることができます。ブール関数のいくつかの興味深いクラスは何であるのための最小限度P （X ）f：{ 0 、1 }ん→ { 0 、1 }f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}p （x ）p(x)p(x)f（x ）= p （x ）f(x)=p(x)f(x)=p(x)X ∈ { 0 、1 }んx∈{0,1}nx\in\{0,1\}^np （x ）p(x)p(x)知られている？具体例はありますか？
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アフィンラムダ計算はPのすべての問題を解決できますか？
型とプログラミング言語の高度なトピックでは、サブ構造型システムの章で、リストの再帰コンビネーターを使用した「注意深く作成された」アフィンラムダ計算は、多項式の実行時間を持つ用語のみを入力できると述べられています。複雑さのために証拠を提示する）。Pのすべての問題も解決できれば、これは非常に興味深いでしょう。Pが完全な問題の解決策を見つけようとする計算を使って解決策を見つけようとしたら、実際に何が証明されるかわかりません。P完全な問題の解決策を使用するために必要なすべての削減を実行できることを意味しているように思えません（確かに可能性があるように見えますが）。 アフィンラムダ計算がPの問題を正確に解決できることが知られていない場合、Pの問題を正確に解決できる既知の計算はありますか？
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ホモトピー型理論とゲーデルの不完全性定理
クルト・ゲーデルの不完全性定理 『算術演算を行うことのできる全ての固有の限界が、ほとんどの些細な公理的システム』を確立。 ホモトピー型理論は、数学の代替基盤、より高い帰納型と一価の公理に基づく一価の基盤を提供します。格好いいブックはなど、タイプの家族はFi回線brationsあり、機能はファンクタあり、種類が高いgroupoidsであることを説明して Jeremy AvigadとJohn HarrisonによるCACM の最近の記事「正式に検証された数学」では、正式に検証された数学と自動定理証明に関してHoTTについて説明しています。 ゲーデルの不完全性定理はHoTTに適用されますか？ そして、もしそうなら、 ホモトピー型理論はゲーデルの不完全性定理によって（正式に検証された数学の文脈内で）損なわれていますか？
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間の含意
であることを証明できる場合 、それはN L = N Pであることを意味しますか？L=PL=P\mathsf{L}=\mathsf{P}NL=NPNL=NP\mathsf{NL}=\mathsf{NP} それは事実だと思っていましたが、証明することはできません（逆も同様です）。
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でのブール式バランシング
ブール式のバランス問題の複雑さについての参照を探しています。特に、 ブール式はでバランスを取ることができることは知られていましたか？AC0AC0\mathsf{AC^0} あるブール式バランシングの簡単な証明はありますか？AC0AC0\mathsf{AC^0} 「単純」とは、以下で説明するものよりも単純な証明を意味します。特に、にあるブール式の評価に依存しない証明を探しています。NC1NC1\mathsf{NC^1} バックグラウンド ここで言及されているすべての複雑度クラスは統一されたものです。 BFB（ブール式バランシング）： ブール式を考えると、 同等のバランスの取れたブール式を探します。φφ\varphi 私はこの問題の複雑さに興味があります。特に、問題が（またはまたはあることを示す簡単な証明）に興味があります。Spiraの補題に基づくような一般的なバランスの引数は、数式ツリーに繰り返される構造変更を適用しますが、これはのみを与えるようです。 T C 0 N C 1 B F B ∈ N C 2AC0AC0\mathsf{AC^0}T C0TC0\mathsf{TC^0}N C1NC1\mathsf{NC^1}B FB ∈ N C2BFB∈NC2BFB \in \mathsf{NC^2} 私は証明を持っていますが、証明は単純ではなく、の証明に依存しています。 B F E ∈ N C 1B FB ∈ A C0BFB∈AC0BFB \in \mathsf{AC^0}B FE∈ N C1BFE∈NC1BFE \in \mathsf{NC^1} …
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ラスベガスのアルゴリズムを使用したBPPの既知の最速シミュレーションは何ですか？
BPPBPP\mathsf{BPP}Z P Pとは、2つの基本的な確率的複雑度クラスです。ZPPZPP\mathsf{ZPP} 1BPPBPP\mathsf{BPP}は、確率的多項式時間チューリングアルゴリズムによって決定される言語のクラスであり、アルゴリズムが不正解を返す確率は制限されています。つまり、エラー確率は最大で（YESとインスタンスなし）。1313\frac{1}{3} 一方、 アルゴリズムは、正しい答えを返すときはいつでも、間違った答えを決して返さない確率的アルゴリズムと見なすことができます。ただし、それらの実行時間は多項式によって制限されず、期待される多項式で実行されます。ZPPZPP\mathsf{ZPP} ましょう、ゼロエラー確率で確率的アルゴリズムによって決定言語のクラスと予想実行時間である。これらは、ラスベガスアルゴリズムおよびとも呼ばれます。ZPTime(f)ZPTime(f)\mathsf{ZPTime}(f)Z P P = Z P T i m e（n O （1 ））fffZPP=ZPTime(nO(1))ZPP=ZPTime(nO(1))\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)}) 私の質問は、ラスベガスのアルゴリズムを使用したアルゴリズムのシミュレーションで最もよく知られているものは何ですか？予想よりも短い時間でそれらをシミュレートできますか？指数関数的な時間を要する簡単なブルートフォースシミュレーションに対する既知の改善点はありますか？BPPBPP\mathsf{BPP} より正式には、 またはいくつかの？B P P ⊆ Z P Tをiがm個の電子を（2 N - N ε）ε > 0BPP⊆ZPTime(2O(nϵ))BPP⊆ZPTime(2O(nϵ))\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})BPP⊆ZPTime(2n−nϵ)BPP⊆ZPTime(2n−nϵ)\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})ϵ>0ϵ>0\epsilon>0
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最小サイクルがダブルエッジカバーを形成するように周囲
してみましょう。すべてのgサイクルのセットがGのダブルエッジカバーを形成するように（つまり、すべてのエッジがちょうど2つのgサイクルによって共有される）、任意の2つの交点が交差するように、ガースgの単純なグラフGを生成する必要がありますg -cyclesは、頂点、エッジ、または空のいずれかです。生成されるグラフは、任意に大きくする必要があります。g≥3g≥3g\geq 3GGGggggggGGGgggggg 生成方法にはある程度のランダムさが必要ですが、簡単な意味ではありません。かなり複雑なグラフを取得したい。たとえば、平面に長方形グリッドがあるとします。外接する四角形の反対側を特定すると、g = 4に対する上記の要件をすべて満たすグラフが得られます。このグラフは単純であると見なします。n×mn×mn\times mg=4g=4g=4 そのような方法はありますか？ 同様の問題への言及も歓迎します。
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P対BPPに関するOracleの結果
してみましょう BE任意のEXP完全問題。次に、です。AAAPA=NPAPA=NPAP^A = NP^A してみましょういることをクエリアカウントにかかる一部のOracleなる（PにおけるTM）が行いますが、私たちは得ることができます。BBBMMMPB≠NPBPB≠NPBP^B \neq NP^B 質問：PとBPPについて同様のオラクルの結果はありますか？
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サブセット番号
修正K ≥ 5k≥5k\ge5。十分な大きさのについて、サイズんんnが{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}のすべてのサブセットにn / kん/kn/kを正の整数で正確にラベル付けします{ 1 ... T}{1 ...T}\{1...T\}。このラベル付けが次のプロパティを満たすようにしたい：整数のセットSSSあり、st 場合kkkサイズのサブセットn / kん/kn/k交差する（すなわち、これらのセットの和集合は、すべてのセットを形成しない{ 1 .. n }{1 ..ん}\{1..n\}）は、そのラベルの合計はであるSSS。 そうでなければ、それらのラベルの合計はありませんSSS。 そこに存在するかK ≥ 5k≥5k\ge5とラベリング、ST T⋅ | S| =O（ 1.99ん）T⋅|S|=O（1.99ん）T\cdot|S|=O(1.99^n)？ たとえば、任意のkkkに対して、次の方法でサブセットにラベルを付けることができます。 T= 2んT=2んT=2^n、各サブセットが有するんんnその数のビットは：最初のビットが同じである111サブセットが含まれているときに限り111第2のビットが同じで、111サブセットが含まときに限り222などそれは、参照することは容易だSSS唯一の要素含ま2ん− 12ん−12^n-1。しかし、ここでT⋅ | S| =Θ（ 2ん）T⋅|S|=Θ（2ん）T\cdot|S|=\Theta(2^n)。もっと上手くできる？
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固定パラメータの扱いやすさの定義の背後にある動機は何ですか？
ウィキペディアは書いています： FPTは、時間で解くことができるもので扱いやすい問題、パラメータ固定含まいくつかの計算可能な関数fのO （1 ）。通常、この関数は2 O （k ）のような単一の指数関数と見なされますが、この定義ではさらに速く成長する関数を認めています。これは、このクラスの初期の歴史の大部分で不可欠です。定義の重要な部分は、n kなどのf （n 、k ）という形式の関数を除外することです。f(k)⋅|x|O(1)f(k)⋅|x|O(1）f(k)\cdot|x|^{O(1)}fff2O （k ）2O(k）2^{O(k)}f（n 、k ）f（ん、k）f(n,k)んkんkn^k。 質問：この定義の背後にある動機は何ですか？ 私を困惑させているのは、が（「固定パラメーターの扱いやすさ」に従って）固定されている場合、n kはnの多項式であることです。では、なぜn kを除外することが重要なのでしょうか。kkkんkんkn^kんんnんkんkn^k
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3-SATの準多項式サイズの回路は簡単ですか？
変数とc句を含む3-SATを検討するとします。この説明に適合するSATの問題を解決するために、O （v 2 + log c）の時間/スペースを必要とする方法を調査しています。これは、任意の量に調整できるエラーの範囲内です。ただし、落とし穴があります。vvvcccO(v2+logc)O(v2+log⁡c)O(v^{2+\log c}) この方法では、事前に計算された値のセットが必要です。その後、上記の説明に適合する任意の3-SAT問題を解決できます。事前計算された値は、サイズセットであり、各値はO （1 ）のスペースを取ります。実際の問題は、これらの値のそれぞれが計算にO （2 v）時間かかる可能性があることです。これらの計算を高速化する方法を見つけることができる可能性があります。O(v2+logc)O(v2+log⁡c)O(v^{2+\log c})O(1)O(1)O(1)O(2v)O(2v)O(2^v) 私は境界自体がこの質問で提示された上限を下回っていると思います（小さな）。だから私は疑問に思っています、O （v 2 + log c）事前計算を許可する場合、私が説明する上限に到達する簡単な方法はありますか？cccO(v2+logc)O(v2+log⁡c)O(v^{2+\log c}) 私はこの研究を続け、うまくいけば私の結果を公開したいと思いますが、最初に、それと同じかそれ以上の簡単な方法があるかどうかを知りたいです。 更新 このアルゴリズムの研究に加えて、関連する問題を研究しています。私は尋ねたStackExchangeのITセキュリティサイトでこの質問を、あなたが興味を持っている場合は、パスワードクラッキングおよびSATに関連します。少なくとも1つの回答がこれを反映しています。
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