でのブール式バランシング

ブール式のバランス問題の複雑さについての参照を探しています。特に、

ブール式はでバランスを取ることができることは知られていましたか？ $\mathsf{AC^0}$
あるブール式バランシングの簡単な証明はありますか？ $\mathsf{AC^0}$

「単純」とは、以下で説明するものよりも単純な証明を意味します。特に、にあるブール式の評価に依存しない証明を探しています。 $\mathsf{NC^1}$

バックグラウンド

ここで言及されているすべての複雑度クラスは統一されたものです。

BFB（ブール式バランシング）：
ブール式を考えると、同等のバランスの取れたブール式を探します。 $\varphi$

私はこの問題の複雑さに興味があります。特に、問題が（またはまたはあることを示す簡単な証明）に興味があります。Spiraの補題に基づくような一般的なバランスの引数は、数式ツリーに繰り返される構造変更を適用しますが、これはのみを与えるようです。 $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

私は証明を持っていますが、証明は単純ではなく、の証明に依存しています。 $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFEは（ブール式の評価）
ブール式が与えられと真実の割り当ての変数のための、 DOES満足（）？ $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

サムバスの有名な結果から、ブール式の評価（）はで計算できることが（[Buss87]と[BCGR92]を参照）。 $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

（驚くべきことに、少なくとも私にとっては）ブール式バランシング（）もます： $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

これは、の入力ゲートにをハードコードしてと同等の式を取得できるというもので、これは計算可能な完全な構文演算です。はバランスのとれた数式を持っているので、同等のバランスのとれた数式が得られます。つまり、アルゴリズムは次のとおりです。 $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

動機

以下のためのより簡単な引数である（またはあるいは）の新しい単純証明与えるバランスの取れたバージョンのBFEはで解くことができ、それを合成でき、結果はことが簡単にわかるからです。 $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

ご質問

ブール式は（）でバランスを取ることができることが知られていましたか？ $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
より簡単な引数（たとえば、依存しない）はありますか？ $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— カヴェ
ソース

「バランス」のどのような定義を使用していますか？

— Dana Moshkovitz、

@ Dana、（すなわち、特定の定数でようなものを使用できます。参照してくださいボンネットとブスの論文「サイズ・奥行ブール式のためのトレードオフ」、2002年

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

「バランス」の定義を明確にすべきであることに合意した。これは二分木のバランスの概念に似ていますか？例：「自己バランスツリー」

— vzn

これが非常に関連性があるかどうかはわかりませんが、k-Treeのパスとマッチングの対数空間アルゴリズム（過去の作業の長い歴史に基づいて構築され、具体的にはLimaye-Mahajan-RaoによるNC1とLの周りの算術クラス）で示しますLogspaceでツリーのバランスの取れた再帰的なセパレータを見つける方法。この境界は、入力ツリーが文字列表現で直接指定されている場合、で改善できる可能性があります。 $\mathsf{NC}^1$

基本的な考え方は、ツリーを括弧式として表し、これらのバランスのとれたセパレータを見つけることです。葉のセパレーター、つまり葉の数に比例するサブツリーを見つけることに注意してください。

— SamiD
ソース