アフィンラムダ計算はPのすべての問題を解決できますか？

型とプログラミング言語の高度なトピックでは、サブ構造型システムの章で、リストの再帰コンビネーターを使用した「注意深く作成された」アフィンラムダ計算は、多項式の実行時間を持つ用語のみを入力できると述べられています。複雑さのために証拠を提示する）。Pのすべての問題も解決できれば、これは非常に興味深いでしょう。Pが完全な問題の解決策を見つけようとする計算を使って解決策を見つけようとしたら、実際に何が証明されるかわかりません。P完全な問題の解決策を使用するために必要なすべての削減を実行できることを意味しているように思えません（確かに可能性があるように見えますが）。

アフィンラムダ計算がPの問題を正確に解決できることが知られていない場合、Pの問題を正確に解決できる既知の計算はありますか？

編集：下の最初の段落の私の推測は間違っています！Ugo Dal Lagoは私に知らなかったMartin Hofmannによる後の論文（POPL 2002に掲載）を指摘し、（より一般的な結果の結果として）ATTPL本のシステムが実際に（F Pのすべての関数を計算できるわけではありませんが）。だから、驚いたことに、主な質問への答えはイエスです。$\mathsf P$$\mathsf{FP}$

あなたが参照しているシステム（ATTPLの本から）については、Pのすべての言語を決定できるわけではないと確信しています。F Pのすべての関数を計算することはできません。その章の注記で述べたように、そのシステムはMartin HofmannのLICS 1999論文（「線形型とサイズ増加のない多項式時間計算」）から取られており、ここに示されています表現可能な関数はポリタイムであり、サイズが増加しないこと$\mathsf P$$\mathsf{FP}$、多数のポリタイム関数を除外します。また、その言語でシミュレートできるTuringマシンのテープのサイズに深刻な制限を与えるようです。この論文では、ホフマンは線形空間計算をエンコードできることを示しています。私の推測では、これ以上行うことはできません。つまり、そのシステムに対応するクラスは、おおよそ、ポリタイム空間と線形空間で同時に解ける問題です。

2番目の質問に関しては、Pの問題を正確に解決できるいくつかの計算があります。そのうちのいくつかは、あなたが参照しているATTPLの章のノートに記載されている（セクト1.6。）：Leivantの階層λ -calculus（彼POPL 1993紙、またはポリ時間のジャン=イヴ・マリオン「ラムダ計算特徴付けとペーパーを参照してください。 "、Fundamenta Informaticae 19（1/2）：167-184、1993）、これはベラントーニとクックのF Pの特徴付けに関連しています。そしてλ -calculiはジラールの光線形論理（由来の情報と計算（またはLafontのソフト線形論理から：175から204、1998、143）理論計算機科学$\lambda$$\mathsf P$$\lambda$$\mathsf{FP}$$\lambda$318（1-2）：163-180、2004）。これらの後者の2つの論理システムから発生し、（完全性を享受しながら）ポリタイム終了を保証する型システムは、次の場所にあります。

パトリック・ベイロ、照井一成。ラムダ計算における多項式時間計算のライトタイプ。Information and Computation 207（1）：41-62、2009。

マルコ・ガボーディ、シモーナ・ロンキ・デラ・ロッカ。簡単なロジックからタイプの割り当てまで：ケーススタディ。Logic Journal of the IGPL 17（5）：499-530、2009。

これら2つの論文には、他にも多くの参考文献があります。

結論として、ニール・クリシュナスワミの発言を拡大させてください。状況は少し微妙です。上記の計算のすべては、より一般的な計算の制限と見なすことができます。この計算では、たとえばシステムFなどのポリタイム関数だけではなく、はるかに多くを計算できます。つまり、システムFプログラムPのプロパティΦを定義します。：文字列 →次のようなブール値：$\lambda$$\Phi$$P:\texttt{string}\rightarrow\texttt{bool}$

健全性： は、Pによって決定された言語がPにあることを意味します。$\Phi(P)$$P$$\mathsf P$

完全：すべてのための、Fシステムプログラムが存在するP判定LようΦ （P ）は。$L\in\mathsf P$$P$$L$$\Phi(P)$

興味があるのは、によって表される特性が純粋に構文的であり、特に決定可能であることです。したがって、完全性は拡張の意味でのみ保持できます。LがPでお気に入りの言語であり、PがシステムFで表現されるLを決定するためのお気に入りのアルゴリズムである場合、Φ （P ）は成り立たない可能性があります。知っているのは、Lを決定する他のシステムFプログラムP 'があり、Φ （P '）が成り立つことだけです。残念ながら、P $\Phi$$L$$\mathsf P$$P$$L$$\Phi(P)$$P'$$L$$\Phi(P')$$P'$あなたのよりはるかに不自然です。実際、多項式クロックのチューリングマシンをΦを満たすシステムF項としてエンコードすることにより、完全性が証明されます。したがって、お気に入りのアルゴリズムを使用してLを解く唯一の保証された方法は、そのアルゴリズムをTuringマシンに実装し、完全性証明で指定されたエンコーディングを使用してシステムFで変換することです（独自のエンコーディングは機能しない可能性があります！）。プログラミングの面で最もエレガントなソリューションとは言えません...もちろん、多くの場合、「自然な」プログラムPはΦを満たします。ただし、他の多くのケースではそうではありません。上記のLICS 1999論文では、ホフマンは例として挿入ソートを提供しています。$P$$\Phi$$L$$P$$\Phi$

より広い言語のポリタイムプログラム（上記の例ではシステムF）を正確に入力できる、意図的に完全な型システムが存在します。もちろん、それらは一般的に決定できません。見る

Ugo Dal Lago、Marco Gaboardi。線形依存型と相対的完全性。コンピュータサイエンスにおける論理的手法 8（4）、2011年。