ラスベガスのアルゴリズムを使用したBPPの既知の最速シミュレーションは何ですか？

$\mathsf{BPP}$ とは、2つの基本的な確率的複雑度クラスです。 $\mathsf{ZPP}$

$\mathsf{BPP}$ は、確率的多項式時間チューリングアルゴリズムによって決定される言語のクラスであり、アルゴリズムが不正解を返す確率は制限されています。つまり、エラー確率は最大で（YESとインスタンスなし）。 $\frac{1}{3}$

一方、アルゴリズムは、正しい答えを返すときはいつでも、間違った答えを決して返さない確率的アルゴリズムと見なすことができます。ただし、それらの実行時間は多項式によって制限されず、期待される多項式で実行されます。 $\mathsf{ZPP}$

ましょう、ゼロエラー確率で確率的アルゴリズムによって決定言語のクラスと予想実行時間である。これらは、ラスベガスアルゴリズムおよびとも呼ばれます。 $\mathsf{ZPTime}(f)$ $f$ $\mathsf{ZPP} = \mathsf{ZPTime}(n^{O(1)})$

私の質問は、ラスベガスのアルゴリズムを使用したアルゴリズムのシミュレーションで最もよく知られているものは何ですか？予想よりも短い時間でそれらをシミュレートできますか？指数関数的な時間を要する簡単なブルートフォースシミュレーションに対する既知の改善点はありますか？ $\mathsf{BPP}$

より正式には、またはいくつかの？ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{O(n^{\epsilon})})$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTime}(2^{n-n^{\epsilon}})$ $\epsilon>0$

— エチューリー
ソース

入力の長さnとは何ですか？なぜ受け入れることができるのですか？

2^{n}

$2^n$

— domotorp 2013年

2^{p o l y (n) - n^{ϵ}}

$2^{\mathrm{poly}(n)-n^\epsilon}$ はと同じです。

2^{p o l y (n)}

$2^{\mathrm{poly}(n)}$

— EmilJeřábek2013年

この質問はとても興味深いものです。質問を編集して、読みやすく正確にした。さらに編集してください。PS：私はあなたがおそらく考慮にシミュレーション時間のパラメータとしてBPPのアルゴリズムによって使用される多項式多くのランダムビットを撮りたかったが、エミールはあなたが書いたものを指摘するように与えることを推測しています。BPPを、アルゴリズムで使用されるランダムビット数のパラメーターを持つ特定のクラスの有界エラー確率アルゴリズムで置き換える必要がある場合。

2^{p o l y (n)}

$2^{poly(n)}$

— Kaveh 2013年

私たちが使用するBPPアルゴリズムシミュレートすることができるかどうか尋ねることができるランダムビットブルートため-forceシミュレーションは時間で実行されます。

r (n)

$r(n)$

Z P T i m e (2^{r (n) - n^{ϵ}} n^{O (1)})

$\mathsf{ZPTime}(2^{r(n)-n^\epsilon}n^{O(1)})$

2^{r (n)} n^{O (1)}

$2^{r(n)}n^{O(1)}$

— Kaveh 2013年

回答:

まず、が定数である場合、。（非決定論的な時間階層による証明。）そのため、シミュレーションが改善されただけでなく、ランダム化された時間の下限で数十年の最初の進歩がもたらされるため、そのような包含を証明することは重要です。 $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{c}}]$ $c$ $\mathsf{BPP} \neq \mathsf{NEXP}$

次に、クラス $\mathsf{PromiseBPP}$ について考えてみましょう。このクラスでは、次の問題は「 -hard」です。 $\mathsf{PromiseBPP}$

回路近似確率問題（CAPP）： 回路を考える、出力の受理確率内に添加因子。 $C$ $C$ $1/6$

$2^{n^{\varepsilon}}$ $n$ $C$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $C$ $k$ $n$ $2^{k-\omega(\log k)}\mathrm{poly}(n)$ $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ 。つまり、両面エラーのランダム性で計算可能な問題は確かにあります。そのため、徹底的な探索を穏やかに打つエラーゼロのアルゴリズムでも、回路の下限を意味します。これは下限を証明するための可能な方法として解釈されるべきだと私は信じています。あなたのマイレージは異なる場合があります。

通知それも証明にも開放されており、証明それはまた下限を意味するものであろう：KabanetsとImpagliazzo 2004年、多項式アイデンティティならテスト（問題）は、すべてのについてにあり、永続またはいずれかに下限があります。最近（STOC'13で公開予定）、またはいずれかが無条件に証明されましたは $\mathsf{RP} \subseteq \mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{ZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^{\varepsilon}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$ $n^c$ カバネットの「簡単な目撃」方法に基づいて構築された回路のサイズ。これは2つのことを意味します。

存在するのためのすべてのそのよう、に無条件で -これは最良無条件程度でありますこれまでにわかっている内のランダム化。 $c$ $\varepsilon > 0$ $\mathsf{RP}$ $\mathsf{ioZPTIME}[2^{n^{\varepsilon}}]/n^c$ $\mathsf{RP/BPP}$ $\mathsf{ZPP}$
興味深いサブ指数シミュレーションを開始するには、固定多項式サイズの回路がないと仮定するだけで済みます。 $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{RTIME}[2^n]$

— ライアン・ウィリアムス
ソース

私の応答を読みやすくするために時間を割いてくれたNielに感謝します:)

— Ryan Williams

ライアン、私は非常に愚かな質問をしようとしていると思いますが、ここに行きます：最初の文で、なぜ「すべての」が必要なのですか？一部のcのZPTIME（2 ^（n ^ c））のBPPサブセットを固定しないと、RTIME（2 ^（n ^ c））のBPPサブセットを意味するため、NTIME（2 ^（n ^ c））になるため、BPPはNEXPと等しくないか、そうでなければNTIME（2 ^（2n ^ c））はNTIME（2 ^（n ^ c））のサブセットですか？

ϵ

$\epsilon$

— Sasho Nikolov 2013

まったく愚かではありません-実際、いくつかのは十分です。ただし、その他の結果には、指数以下の時間アルゴリズムが必要です。

B P P \subseteq N T I M E (2^{n^{c}})

$BPP \subseteq NTIME(2^{n^c})$

c

$c$

B P P \neq N E X P

$BPP \neq NEXP$

— Ryan Williams

ライアン：私があなたの論文を理解したいと思った場合、回路の複雑さに関するどの本/論文に精通することをお勧めしますか？

— T ....

こんにちはArul、幸いにもBill Gasarchがしばらく前に私にこの質問をして、次のリンクのWebページを表示しました：cs.umd.edu/~gasarch/ryan/ryan.html

— Ryan Williams

それは、どのような仮定をするかによって異なります。

一定の硬さの仮定、すなわち下で、あなたはそれを得る。これは特に、ということを意味、したがって、すべての言語のことを「Eは、準指数回路を持っていない限り、P = BPPを：XOR補題をデランダム化する」ラスベガスのマシンで受け入れられている（参照Impagliazzoにより、とウィグダーソン）。 $E \not\subseteq SIZE(2^{\varepsilon n})$ $P = BPP$ $BPP = ZPP$ $L \in BPP$

あなたはまた、すなわち、より穏やかな硬度の仮定を行うことができ、その、その取得し（の検索では、」中補題46を参照してください簡単な目撃：指数時間対確率多項式時間」（Impagliazzo、Kabanets、およびWigdersonによる）。 $ZPE \not\subseteq \rm{io-DTIME}(2^{\varepsilon n})$ $BPP = ZPP$

— またはメイア
ソース

ランダム化の進歩を除けば、ラスベガスマシンが間違いを犯さないという要件は重要であるように私には思われます。そのため、この場合、ランダム性を持たせることのメリットはほとんどありません。

$L$ $A$ $x \in \{0,1\}^n$ $r \in \{0,1\}^{N(n)}$ ホールドします。について以上の情報が与えられない場合、これは本質的にオラクルの約束問題です：オラクル計算し、が1つの出力生成するという約束が与えられます反対出力として多くの入力として少なくとも二倍のためより一般的である出力決定。

\underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩾ \frac{2}{3} or \underset{r}{Pr} (A accepts (x, r)) ⩽ \frac{1}{3}

$\Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \geqslant \tfrac{2}{3} \quad\text{or}\quad \Pr_r(\text{$A$ accepts $(x,r)$}) \leqslant \tfrac{1}{3}$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} (r) = A (x, r)

$A'(r) = A(x,r)$

A^{'}

$A'$

a \in {0, 1}

$a \in \{0,1\}$

1 - a

$1-a$

ラスベガスマシンはランダムな手法を使用する場合がありますが、実際にをオラクルとして扱うことを余儀なくされた場合、ラスベガスマシンで使用できる唯一の戦略は、ランダムな文字列、それぞれにどのような答えが与えられるかを確認します。を超える場合にのみ確認できます。 $A'$ $r$ 異なる文字列すべてが同じ出力を生成します。そうでない場合、確率が小さい（ただし、ゼロではない！）ため、運が悪い可能性があり、考えられる出力の非代表的なサンプルが取得されます。エラーをゼロにするには、少なくともサンプリングする必要があります。 $2^{N(n)}\!/3$ $r$ 入力。 $2^{N(n)}\!/3$ $r$

ラスベガスのマシンは、可能なすべてのランダム文字列少なくとも一定の割合を検査する必要があるため、漸近的に、すべての可能なランダム文字列を確定的にテストした場合よりもよい結果が得られません。ブルートフォースによって決定論的に実行できる範囲を超えて、エラー0の設定でランダムにBPPアルゴリズムをシミュレートすることには、漸近的な利点はありません。 $r$

この同じ引数が間オラクル分離を生じさせることに留意されたいBPPとZPP、すなわち オラクルが存在するようにためZPPながらアルゴリズムは、指数関数的な時間を要するBPPアルゴリズムは約問題を解決することができOracleを1つのクエリで実行し、制限付きエラーで成功します。しかし、それはあなたがすでに疑った以上のもの（シミュレーションのオーバーヘッドが多項式よりも悪いかもしれないこと）を教えてくれませんし、漸近論は単純な決定論的シミュレーションと同じくらい悪いです。 $A$

{Z P P}^{A} ⫋ {B P P}^{A}

$\mathsf{ZPP}^A \subsetneqq \mathsf{BPP}^A$

— ニール・ド・ボードラ
ソース

私が間違っている場合は私を修正してください：非ランダム化が不可能に思われる理由を直感的に推論していますが、合理的な仮定の下では、BPP、ZPP、およびPはすべて同じものであることはわかっています。直感が必ずしも良いとは限らない

— Sasho Nikolov

どういたしまして。非ランダム化は、おそらくPによってBPPをシミュレートする方法の洞察になるでしょうね。私が説明しているのは、アルゴリズム自体の構造を利用しない無条件の結果が必要な場合、エラーゼロのランダム化されたシミュレーションと同様に確定的シミュレーションを実行する方法です。または、この説明に何か問題がありますか？

— Niel de Beaudrap 2013年

あなたが言っているのは、ZPPによるBPPの素朴な力のシミュレーションはPによるBPPの素朴な力のシミュレーションよりも速くないということだけだと思います。私にとってこれは、「最大のマッチングを見つけるための最速のアルゴリズムは何ですか」と誰かに尋ねて、「まあ、マッチングの構造に対する洞察に失敗し、それは指数関数的な時間だ」と答えるようなものです。問題は、効率的なZPPシミュレーションを可能にするBPPの構造に対する既知の洞察があるかどうかを尋ねることです

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov：深い洞察を意味するものではありませんでした。質問の文言から、CS.SEに移行するための境界線であるように私には思えました。私が知る限り、 L∈BPPの言語を受け入れるラスベガスマシンの最も効率的な予想実行時間は、ブルートフォースの可能性を探る決定論的なマシンほど優れていません。いくつかの条件が満たされている場合は多項式の上限になる可能性があるという回答は、私はそれらに投票します。しかし、私は実際の質問に取り組みます。

— Niel de Beaudrap 2013年

これは良い答えだと思います（編集後も読みやすくなります）。「P = ZPPはP = BPPを意味する」または「ZPP = BPPはP = BPPを意味する」などの条件付き結果がないため、確定的アルゴリズムよりも高速にZPアルゴリズムでBPPをシミュレーションできる可能性があります。しかし、相対化の結果は、これが相対化シミュレーションによっては起こり得ないことを暗示しているようです、私は正しく理解できますか？

— Kaveh 2013年