タグ付けされた質問 「homotopy-type-theory」


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Hottの本では、ほとんどのタイプフォーマーは冗長ですか?もしそうなら、なぜですか?
Hottブックの第1章と付録A では、基礎を形成するために、いくつかのプリミティブ型ファミリ(ユニバース型、従属関数型、従属ペア型、連産型、空型、単位型、自然数型、およびID型)が示されていますホモトピー型理論。 ただし、ユニバース型と依存関数型を指定すると、これらすべての他の「プリミティブ」型を構築できるようです。たとえば、Empty型は代わりに次のように定義できます ΠT:U.T 他のタイプも、純粋なCCの場合と同様に構築できると仮定します(つまり、定義の帰納的部分からタイプを導き出すだけです)。 これらのタイプの多くは、第5章および第6章で紹介されているInductive / Wタイプによって明示的に冗長化されています。しかし、Inductive / Wタイプは、HoTT少なくとも本が出たとき)。 したがって、これらの追加のタイプがプリミティブとして表示される理由について非常に混乱しています。私の直感では、基礎理論は可能な限り最小限に抑える必要があり、冗長な空の型をプリミティブとして理論に再定義することは非常にarbitrary意的です。 この選択はなされましたか 私が知らないいくつかのメタ理論的な理由で? 歴史的な理由で、型理論を過去の型理論のように見せるため(必ずしも基礎的であろうとはしていなかった)? コンピュータインターフェイスの「使いやすさ」のために? 私が知らない証明検索でいくつかの利点のために? 同様:Martin-Löf型理論の最小仕様、https://cs.stackexchange.com/questions/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-encodings/82891#82891

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公理でCICを拡張することの負の結果は何ですか?
公理をCICに追加すると、定義や定理の計算内容に悪影響を与える可能性があるのは本当ですか?私がもしあれば、閉じた用語はその標準的な正規形、例えばに削減する、理論の通常の動作では、それを理解、その後、真であるN形の用語に削減しなければならない(S U C C 。。。(S U c c (0 )))。しかし、公理を仮定するとき-関数の拡張性公理と言う-システムに新しい定数を追加するだけですn :Nn:Nn : \mathbb{N}nnn( S U C C 。。。(S U C C (0 )))(sあなたはcc。。。(sあなたはcc(0)))(succ ... (succ (0)))funext fu n e x t :Πx :Af(x )= g(x )→ f= gfあなたはneバツt:Πバツ:Af(バツ)=g(バツ)→f=g funext : \Pi_{x : A} f (x) = g (x) \to f …

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カテゴリ理論の単一性をスケルトンの概念に関連付ける
私がホモトピー型理論で働き、私の唯一の研究対象が従来のカテゴリーであるとしましょう。 ここでの同等性は、ファンクターおよび によって与えられ、カテゴリの同等性を提供します。自然な同型と存在するため、このファンクタと「逆」ファンクタユニットファンクターに変換されます。F:D⟶CF:D⟶CF:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}G:C⟶DG:C⟶DG:{\bf C}\longrightarrow{\bf D} C≃DC≃D{\bf C} \simeq {\bf D}α:nat(FG,1C)α:nat(FG,1C)\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})β:nat(GF,1D)β:nat(GF,1D)\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D}) 現在、単一性は、同等性を、カテゴリについて話すために選択した意図的型理論の恒等型に関連付けています。私はカテゴリのみを扱い、それらが同型のスケルトンを持っている場合は同等ですので、カテゴリのスケルトンに渡すことに関して一価の公理を表現できるかどうか疑問に思います。C=DC=D{\bf C}={\bf D} または、それ以外の場合、アイデンティティタイプ、つまり構文式 を基本的に「スケルトン(または同型)があり、とはどちらも同等です。 "?C=D:=…C=D:=…{\bf C}={\bf D}:=\dotsCC{\bf C}DD{\bf D} (上記では、タイプ理論を定義しやすい概念の観点から解釈しようとしています。カテゴリー理論の概念です。道徳的には、公理がハードコーディングによって意図的なタイプ理論を「修正」しているように見えるので、これについて考えます等価性の原則。これは、カテゴリ理論ステートメントの定式化の自然な部分です。たとえば、普遍的なプロパティでのみオブジェクトを指定します。)

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ホモトピー型理論とゲーデルの不完全性定理
クルト・ゲーデルの不完全性定理 『算術演算を行うことのできる全ての固有の限界が、ほとんどの些細な公理的システム』を確立。 ホモトピー型理論は、数学の代替基盤、より高い帰納型と一価の公理に基づく一価の基盤を提供します。格好いいブックはなど、タイプの家族はFi回線brationsあり、機能はファンクタあり、種類が高いgroupoidsであることを説明して Jeremy AvigadとJohn HarrisonによるCACM の最近の記事「正式に検証された数学」では、正式に検証された数学と自動定理証明に関してHoTTについて説明しています。 ゲーデルの不完全性定理はHoTTに適用されますか? そして、もしそうなら、 ホモトピー型理論はゲーデルの不完全性定理によって(正式に検証された数学の文脈内で)損なわれていますか?
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