理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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比類のない自然数
「最大数のゲームに名前を付ける」では、2人のプレイヤーに数字をひそかに書き留めてもらい、勝者は大きな数字を書き留めた人です。ゲームでは一般に、プレイヤーはある時点で評価された関数を書き留めることができるため、222222222^{2^{2^{2}}}も書き留めることができます。 Busy Beaver関数の値BB(x)BB(x)BB(x)、xxx大きな値に対して決定できません（ZFCまたは任意の妥当な一貫した公理系で）。特に、BB(104)BB(104)BB(10^4)はこの論文に従って決定することはできません。ただし、これはビジービーバー関数の値を比較できないという意味ではありません。たとえば、BB(x)BB(x)BB(x)が厳密に単調であることを証明できます。 プレーヤーが基本関数、自然数、ビジービーバー関数の合成を含む式を書き留めることができると仮定しましょう。ZFCで勝者を決定することは不可能であることをZFCで証明できるように、2人のプレーヤーが書き留めることができる2つの表現はありますか（ZFCに一貫性があると仮定）？ 編集：もともとこの質問は、「計算可能な関数、自然数、ビジービーバー関数の任意の組み合わせ」と言っていました。 私たちは聞かせている場合f(x)f(x)f(x)の値をとる333ならばBB(x)>BB(x)>BB(x) > [このウェブサイト上の不信心な大規模で言い表せない何か]と777そうでない場合は、f(104)f(104)f(10^4)及び666比類のないです。 これは主にfffがこのゲームで使用するための合理的な関数ではないため、私を満足させません。しかし、このことについて直感を表現する方法がわからないので、区分的な機能を避けるために質問を制限しました。
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使用からバインダーまでの関数でバインドされた変数を表現する
バインドされた変数を構文で表す問題、特にキャプチャ回避置換の問題はよく知られており、いくつかの解決策があります。 しかし、別のかなり明白なアプローチがあるようです。それにもかかわらず、私はどこでも使用されていません。つまり、基本構文では、「」と書かれた「変数」という用語が1つだけあり、その後、各変数をスコープ内のバインダーにマッピングする関数を個別に指定します。だから、λのような-termは、∙∙\bulletλλ\lambda λx.(λy.xy)λx.(λy.xy) \lambda x. (\lambda y. x y) と書かれます。（λ 。∙ ∙ ）、および機能は、最初のマップになる∙を最初にλ及び第∙第二のλ。したがって、de Bruijnインデックスのようなもので、対応するバインダーを見つけるために用語を終了するときに「λsをカウントする」だけでなく、関数を評価するだけです。（これを実装のデータ構造として表す場合、各変数用語オブジェクトに、対応するバインダー用語オブジェクトへの単純なポインター/参照を装備することを考えます。）λ.(λ.∙∙)λ.(λ.∙∙)\lambda. (\lambda. \bullet\bullet)∙∙\bulletλλ\lambda∙∙\bulletλλ\lambdaλλ\lambda 明らかに、これは人間が読むためのページに構文を書くのには賢明ではありませんが、どちらもde Bruijnインデックスではありません。数学的には完全に理にかなっているように思えます。特に、キャプチャ回避の置換は非常に簡単になります。置換する用語をドロップするだけで、バインディング関数を結合できます。それは「自由変数」の概念を持っていないのは事実ですが、それから（再び）de Bruijnインデックスも実際にはありません。どちらの場合でも、自由変数を含む用語は、「コンテキスト」バインダーのリストが前にある用語で表されます。 私は何かを見逃していますか、この表現が機能しない理由はありますか？他の問題よりもさらに悪化させ、検討する価値がない問題はありますか？（私が今考えることができる唯一の問題は、用語のセットが（それらの結合機能と一緒に）帰納的に定義されていないということですが、それは乗り越えられないようではありません。）または実際に使用されている場所はありますか？
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与えられた通常の言語には、接頭辞のない無限のサブセットが含まれていますか？
一方が他方の接頭辞である2つの明確な単語がない場合、有限アルファベット上の単語のセットは接頭辞なしです。 質問は： NFAとして指定された通常の言語にプレフィックスなしの無限サブセットが含まれているかどうかを確認する複雑さは何ですか？ 回答（以下のミハイル・ルードイによる）：これは多項式時間で行うことができ、NLでさえ考えます。 ミハイルの答えを言い換えると、(Σ,q0,F,δ)(Σ,q0,F,δ)(\Sigma,q_0,F,\delta)通常の形式の入力NFA（イプシロン遷移なし、トリム）とし、L[p,r]L[p,r]L[p,r]（それぞれL[p,R]L[p,R]L[p,R]）状態を有することにより得られる言語ppp初期状態として{r}{r}\{r\}最終状態（それぞれ状態としてppp initalとして設定されたRRR最終など）。言葉のためにuuu聞かせてuωuωu^\omegauuuを反復することにより得られる無限の単語であること。 以下は同等です。 言語L[q0,F]L[q0,F]L[q_0,F]は、プレフィックスのない無限のサブセットが含まれています。 ∃q∈Q∃q∈Q\exists q \in Q、∃u∈L[q,q]∖{ε}∃u∈L[q,q]∖{ε}\exists u \in L[q,q]\smallsetminus\{\varepsilon\} ∃v∈L[q,F]∃v∈L[q,F]\exists v \in L[q,F]その結果vvvの接頭辞ではないuωuωu^\omega。 ∃q∈Q∃q∈Q\exists q \in Q L[q,q]≠{ε}L[q,q]≠{ε}L[q,q] \neq \{\varepsilon\} ∀u∈L[q,q]∀u∈L[q,q]\forall u \in L[q,q] ∃v∈L[q,F]∃v∈L[q,F]\exists v \in L[q,F]となるようvvvの接頭辞ではないuωuωu^\omega。 証明： 3 ⇒⇒\Rightarrow 2ささい。 2の場合⇒⇒\Rightarrow 1、それはいずれかのことを確認すればよいw∈L[q0,q]w∈L[q0,q]w \in L[q_0,q]私たちがいることを持っているw(u|v|)∗vw(u|v|)∗vw (u^{|v|})^* v無限の接頭辞のない部分集合であるL[q0,F]L[q0,F]L[q_0,F]。 最後に、1 ⇒⇒\Rightarrow 3はミハイルの答えの「正しさ」の証明です。
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空間階層定理は不均一計算に一般化されますか？
一般的な質問 空間階層定理は不均一計算に一般化されますか？ さらに具体的な質問をいくつか示します。 L/poly⊊PSPACE/polyL/poly⊊PSPACE/polyL/poly \subsetneq PSPACE/poly すべての空間構成可能関数、ですか？f(n)f(n)f(n)DSPACE(o(f(n)))/poly⊊DSPACE(f(n))/polyDSPACE(o(f(n)))/poly⊊DSPACE(f(n))/polyDSPACE(o(f(n)))/poly \subsetneq DSPACE(f(n))/poly どの関数について、次のことが知られています：すべての空間構築可能な、？h(n)h(n)h(n)f(n)f(n)f(n)DSPACE(o(f(n)))/h(n)⊊DSPACE(f(n))/h(n)DSPACE(o(f(n)))/h(n)⊊DSPACE(f(n))/h(n)DSPACE(o(f(n)))/h(n) \subsetneq DSPACE(f(n))/h(n)
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通常言語の包含のパラメーター化された複雑さ
私は古典的な問題であるレギュラー言語の包含に興味があります。正規表現与えられると、それに関連付けられた正規言語をL （E ）で示します。（正規表現は、演算ユニオン、Kleene-star、および連結を含む固定アルファベットΣ上にあります。）EEEL （E）L(E)L(E)ΣΣ\Sigma 入力： 2つの正規表現及びE 2質問：それは真実であることをL （E 1）⊆ L （E 2）？E1E1E_1E2E2E_2 L （E1）⊆ L （E2）L(E1)⊆L(E2)L(E_1)\subseteq L(E_2) 通常の言語の包含は、PSPACE-completeであることが知られています[1]。 （PSPACEで）それを解決する古典的な方法は、E 1およびE 2に関連付けられたNFA およびA 2を構築し、A 2からDFA D 2を構築し、DFA D C 2に補完し、最後に、L （E 1）とL （E 2 ）Cの交差に対応するA 1とD C 2から交差オートマトンA Pを構築するA1A1A_1A2A2A_2E1E1E_1E2E2E_2D2D2D_2A2A2A_2DC2D2CD_2^CAPAPA_PA1A1A_1DC2D2CD_2^CL(E1)L(E1)L(E_1)L(E2)CL(E2)CL(E_2)^C。今のみで受け付けパスないがもしあればA P。L(E1)⊆L(E2)L(E1)⊆L(E2)L(E_1)\subseteq L(E_2)APAPA_P 誤解しない限り、が固定言語の場合、A 2をD 2に変換することで指数関数的な爆発が生じるため、プロセス全体を多項式時間で行うことができます。さらに良いことに、|によってパラメータ化されたときの問題はFPTです。E 2 | 、E 2の長さ。E2E2E_2A2A2A_2D2D2D_2|E2||E2||E_2|E2E2E_2 これは私の質問の動機です： 質問：とき固定式で、正規言語のINCLUSIONの複雑さは何ですか？PSPACE-completeのままですか？E1E1E_1 [1] …
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モナドクラスの最先端？
決定問題の単項クラスとしても知られる単項一次論理では、すべての述語が1つの引数を取ります。アッカーマンによって決定可能であることが示されており、NEXPTIME-completeです。 ただし、SATやSMTなどの問題には、理論的な限界にもかかわらず、それらを解決するための高速アルゴリズムがあります。 私は疑問に思っています、一次論理のSAT / SMTに類似した研究はありますか？この場合の「最先端」とは何ですか？また、最悪の場合に理論的な限界に達したにもかかわらず、実際には効率的なアルゴリズムはありますか？
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バイナリーベクター
Iは設定されているのバイナリベクトルS = { S 1、... 、sはN } ⊆ { 0 、1 } K ∖ { 1 、K }とターゲットベクトルT = 1 Kすべてのもののベクトルです。nnnS={s1,…,sn}⊆{0,1}k∖{1k}S={s1,…,sn}⊆{0,1}k∖{1k}S = \{s_1, \ldots, s_n \} \subseteq \{0,1\}^k \setminus \{1^k\}t=1kt=1kt = 1^k 推測：場合の要素の線形結合として書くことができるS上Z / QのZすべてに対するプライムパワーのQは、Tは、の線形結合として書くことができるS上Z、すなわち、整数係数を有する線形結合が存在しますこれはZ上のtになります。tttSSSZ/qZZ/qZ\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} qqqtttSSSZZ\mathbb{Z}tttZZ\mathbb{Z} これは本当ですか？それは誰にも馴染みがありますか？このトピックに関する文献を検索する際にどのキーワードを使用すればよいかわからないため、ご意見をお待ちしています。 逆は確かに成立することを確認します。if 整数の私は、同じ和のmodの評価Qを任意のモジュラスのためにqがまだ平等を与えます。したがって、整数係数との線形結合は、すべての係数の線形結合の存在を意味します。t=∑ni=1αisit=∑i=1nαisit = \sum_{i=1}^n \alpha_i s_iaiaia_iqqqqqq 編集14-12-2017：最初は予想が強かったため、tがすべての素数qに対するmod qの線形結合である場合は常に上の線形結合の存在を主張しました。これは、私のアルゴリズムのアプリケーションで悪用する方が簡単でしたが、間違っていることが判明しました。これは反例です。s 1、… 、s nは、次の行列の行で与えられます。ZZ\mathbb{Z}tttqqqqqqs1,…,sns1,…,sns_1, \ldots, s_n …
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有限構造の一次理論は量指定子のランクを制限していますか？
してみましょう任意の有限構造です。その一次理論行いTを：= T H（Aは）存在するという意味で、制限された数量詞ランクを有するQ ∈ Nようにすべてのためのφ ∈ TとQのR （φ ）> Qが存在するA φ ' ∈ T q個のR （φ "）≤ Qとφ " ≡ φ？AA\mathfrak{A} T:=TH(A)T:=TH(A) \mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A}) q∈Nq∈N q\in\mathbb{N} φ∈Tφ∈T \varphi\in\mathfrak{T} qr(φ)>qqr(φ)>q qr(\varphi) > q φ′∈Tφ′∈T \varphi'\in\mathfrak{T} qr(φ′)≤qqr(φ′)≤q qr(\varphi')\leq q φ′≡φφ′≡φ \varphi'\equiv\varphi
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線形論理の背後にある直感とは何ですか？
私は線形型システムをよりよく理解するために線形論理を理解しようとしています。しかし、私はルールを読んだとき、私は様相論理で行われてきたようにその背後に直感を取得に失敗- 意味Aが必要とされるクリプキフレームのようにAは、すべての到達可能な世界のために必要とされる[ ◊ Aがあり、Aが可能です mutatis変革]。しかし、私が対応する（もしあれば）併用/論理和のペアのいずれかの直感的な二重性について説明しているが見つからない∧と∨。□A◻A\Box AAAAAAA◊A◊A\Diamond AAAA∧∧\land∨∨\lor
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構造の計算：式を最小の形式に圧縮する
Calculus of Constructionsが強く正規化されていることを知っています。つまり、すべての式は、ベータ、η削減された正規表現を持つことができません。実際、これは元の式と同じ値を計算する最も効率的な式です。 ただし、場合によっては、正規化によって小さな式が（サイズに関して）巨大な式に縮小される場合があります。 最小形式の式はありますか？最小サイズで同じ値を計算するフォーム。 言い換えれば、時間効率の良い正規形の代わりに、スペース効率の良いものです。
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ジャーナルバージョンの会議論文エラーの修正
会議論文で、証明するために -completeness問題のを、私は「問題がであることは明らかである愚かな文を書いた N P。だから我々はそれがあることを証明する N Pは -hard」。実際、それはまったく明確ではありませんでした。それも未解決の問題のようです。主な結果は N P硬度であり、したがって多項式アルゴリズムを設計することが不可能な「困難」であるため、対象読者にとっては大した問題ではありません。N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP}N PNP\mathsf{NP}NPNP\mathsf{NP} しかし、もちろん、ジャーナル版の間違いを修正したいと思います。 私の質問は次のとおりです。ジャーナルペーパーで、会議バージョンの間違いを指摘して修正するにはどうすればよいですか。 「カンファレンス版に間違いがあります：...」と書くべきですか？または、会議のバージョンが間違っていたことを言わずに正しい結果を述べる必要がありますか？アドバイスは大歓迎です。
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Entscheidungsproblem vs.Unvollständigkeitssatz（ソフト質問）
最初の用語は、ヒルベルトが1928年の作品で使用したものですが、後のゲーデルの作品では、同じことをUnvollständigkeitssatz（「不完全性定理」）と呼びます。今日のドイツのCS研究者にとっては、Unvollständigkeitssatzがより一般的に使用されているようであり、Entscheidungsproblem（「意思決定問題」）はまだ理解されていますが、das Halteproblem（Turingのオートマトンの研究後、より一般的であるように思われる）とは必ずしも関連していません。一方、英語のCS研究者にとって、Entscheidungsproblemは通常彼らがよく知っている唯一の単語です。 注：言葉は同じではありません、およそヒルベルトの問題と主張することができ決定はおよそゲーデルの発言によって、特定の場合のために、負に答えた不完全だから、不備が覆す決定を一般的に。 興味深いことに、ドイツのウィキペディアを見ると、Entscheidungsproblemのエントリはありませんが、GödelscherUnvollständigkeitssatzのエントリはあり、HilbertのエントリはGödelscherUnvollständigkeitssatzを使用しています。英語版ウィキペディアを見ると、Entscheidungsproblemのエントリがすぐに見つかります。 どうしてEntscheidungsproblemはもはやドイツ語で使用されていませんか？
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排除された中間の法則は、マーティン・ロフの内包型理論における公理Kを暗示していますか？
だから、除外された中間の法則（LEM）がMartin-LöfのIntensional Type Theoryのいわゆる公理Kを暗示しているかどうか疑問に思っていました。公理Kは、 実際、私はいうより一般的なステートメントを証明しようとしました が、等値帰納によってをに減らした後、最初の問題にこだわっています。私も矛盾で進めようとしましたが、うまくいかないようです。Π A ：T Y P E Π X 、Y ：A ΠのP 、Q ：Idを（X 、y ）、Id （p 、q ）qΠA ：Typ個の電子Πバツ：AΠp ：Id （x、x ）、ID （ p 、reflバツ）ΠA:TypeΠx:AΠp:Id(x,x),Id(p,reflx)\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)ΠA ：Typ個の電子Πバツ、y：AΠp、q：Id （x、y）、Id （p、q）ΠA:TypeΠx,y:AΠp,q:Id(x,y),Id(p,q)\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, …
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パラメトリック性のために反射グラフを使用する理由
パラメトリック多型のモデルを見ると、なぜ 反射グラフカテゴリが使用されているのでしょうか？ 特に、なぜそれらはリレーショナル構成を含まないのですか？モデルを見ると、それらはすべてリレーショナル構成の自然な概念をサポートしているようです。 x （R ; S）z⟺∃ Y。x R y∧ YSzx(R;S)z⟺∃y.xRy∧ySz x(R;S)z \iff \exists y. xRy \wedge y S z 反射グラフを使用する最近の論文のほとんどはこれを当たり前のことと考えているようで、それについて議論した古い論文は、O'HearnとTennentによる「関係パラメトリック性と局所変数」でした。 構成可能性を必要としない1つの理由は、よく知られているように、上位の型の論理関係によって構成が保持されないことです。 そして、私はこれが何を意味するのかよく分からないので、私の最初の質問はこれが何を意味するのか、できればこの質問についてのより良いリファレンスです これが意味することは、たとえば指数関数は必ずしも鼻の関係の構成を保存するとは限らないということです。特に、我々は、表示することはできません。これは、指数が関係のカテゴリーのファンクターに拡張されないことを意味します。(R;R′)→(S;S′)≡((R→S);(R′→S′))(R;R′)→(S;S′)≡((R→S);(R′→S′))(R;R') \to (S;S') \equiv ((R \to S);(R' \to S')) ((R→S);(R′→S′))⊂((R;R′)→(S;S′))((R→S);(R′→S′))⊂((R;R′)→(S;S′))((R \to S);(R' \to S')) \subset ((R;R') \to (S;S')) f((R→S);(R′→S′))hf((R→S);(R′→S′))hf((R \to S);(R' \to S')) hgggf(R→S)g(R′→S′)hf(R→S)g(R′→S′)hf(R\to S)g(R'\to S')hxRyR′zxRyR′zxRyR'zf(x)Sg(y)S′h(z)f(x)Sg(y)S′h(z)f(x) S …
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