通常言語の包含のパラメーター化された複雑さ

私は古典的な問題であるレギュラー言語の包含に興味があります。正規表現与えられると、それに関連付けられた正規言語をL （E ）で示します。（正規表現は、演算ユニオン、Kleene-star、および連結を含む固定アルファベットΣ上にあります。）$E$$L(E)$$\Sigma$

入力： 2つの正規表現及びE 2質問：それは真実であることをL （E 1）⊆ L （E 2）？$E_1$$E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

通常の言語の包含は、PSPACE-completeであることが知られています[1]。

（PSPACEで）それを解決する古典的な方法は、E 1およびE 2に関連付けられたNFA およびA 2を構築し、A 2からDFA D 2を構築し、DFA D C 2に補完し、最後に、L （E 1）とL （E 2 ）Cの交差に対応するA 1とD C 2から交差オートマトンA Pを構築する$A_1$$A_2$$E_1$$E_2$$D_2$$A_2$$D_2^C$$A_P$$A_1$$D_2^C$$L(E_1)$$L(E_2)^C$。今のみで受け付けパスないがもしあればA P。$L(E_1)\subseteq L(E_2)$$A_P$

誤解しない限り、が固定言語の場合、A 2をD 2に変換することで指数関数的な爆発が生じるため、プロセス全体を多項式時間で行うことができます。さらに良いことに、|によってパラメータ化されたときの問題はFPTです。E 2 | 、E 2の長さ。$E_2$$A_2$$D_2$$|E_2|$$E_2$

これは私の質問の動機です：

質問：とき固定式で、正規言語のINCLUSIONの複雑さは何ですか？PSPACE-completeのままですか？$E_1$

[1] LJ StockmeyerとAR Meyer。指数関数的な時間を必要とする単語の問題：予備報告。第5回コンピューティング理論に関するACMシンポジウムの議事録、STOC '73、pp。1-9。

注釈：フィールドの非専門家であるため、[1]（およびその当時の関連論文）は非常に読みにくく、PSPACEの完全性の別の証拠は見つかりませんでした。本、大歓迎です！また、著者は正規表現の二乗を許可しているようですが、これは最近では標準的ではないようです。

$E_1$$E_1=\Sigma^*$

民間伝承と見なされるようになったため、正規表現の普遍性に対する最新の読み取り可能なPSPACE硬度の証明を見つけるのは確かに困難です。以下に、プルーフを再構築できるクイックプルーフスキームを示します。

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$M$$\Sigma$$p(n)$$w\in\Sigma^*$$M$$e$$M$$w$

$L_M$$\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$$C_i$$M$$p(n)$$C_0$$w$$C_f$$C_i\to C_{i+1}$$M$$L_M$$M$

$e$$\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$$e$$L_M$$L_M$$e$$e_1+e_2+\dots+e_k$$e_i$

$$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$$ $C_i$$p(n)$$C_i$$C_{i+1}$$C_i$$C_{i+1}$$t(\Sigma')^{p(n)}t'$$t$$t'$$M$ $$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$$ そのため、任意のPSPACE問題を（多項式で）正規表現の普遍性に減らしました。詳細は省略しましたが、これにより完全な証拠を作成できるはずです。

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$E_1$

$(\Sigma')^{p(n)}$$p(n)$$p(n)$

[1] 通常および文脈自由言語の等価性、封じ込め、カバーの問題について、 ハリー・B・ハント、ダニエル・J・ローゼンクランツ、トーマス・G・シマンスキー。Journal of Computer and System Sciences。第12巻、2号、1976年4月、222〜268ページ

[2] 二乗を伴う正規表現の等価問題には、指数空間が必要です。マイヤー、ARおよびL.ストックマイヤー。スイッチングおよびオートマトン理論に関する第13回IEEEシンポジウム、1972年10月、125〜129ページ。