比類のない自然数

「最大数のゲームに名前を付ける」では、2人のプレイヤーに数字をひそかに書き留めてもらい、勝者は大きな数字を書き留めた人です。ゲームでは一般に、プレイヤーはある時点で評価された関数を書き留めることができるため、 $2^{2^{2^{2}}}$ も書き留めることができます。

Busy Beaver関数の値 $BB(x)$ 、 $x$ 大きな値に対して決定できません（ZFCまたは任意の妥当な一貫した公理系で）。特に、 $BB(10^4)$ はこの論文に従って決定することはできません。ただし、これはビジービーバー関数の値を比較できないという意味ではありません。たとえば、 $BB(x)$ が厳密に単調であることを証明できます。

プレーヤーが基本関数、自然数、ビジービーバー関数の合成を含む式を書き留めることができると仮定しましょう。ZFCで勝者を決定することは不可能であることをZFCで証明できるように、2人のプレーヤーが書き留めることができる2つの表現はありますか（ZFCに一貫性があると仮定）？

編集：もともとこの質問は、「計算可能な関数、自然数、ビジービーバー関数の任意の組み合わせ」と言っていました。

私たちは聞かせている場合 $f(x)$ の値をとる $3$ ならば $BB(x) >$ [このウェブサイト上の不信心な大規模で言い表せない何か]と $7$ そうでない場合は、 $f(10^4)$ 及び $6$ 比類のないです。

これは主に $f$ がこのゲームで使用するための合理的な関数ではないため、私を満足させません。しかし、このことについて直感を表現する方法がわからないので、区分的な機能を避けるために質問を制限しました。

computability undecidability

— ステラ・バイダーマン
ソース

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (10^{4})

$BB(10^4)$

B B (x)

$BB(x)$

B B (x)

$BB(x)$

この投稿の回答によると：cstheory.stackexchange.com/questions/9652/…、BBは確かに厳密に単調であるようです

— Avi Tal

このようなゲームをプレイする技術はルールを曲げることであるため、一部の機能が不合理であると言うことは重要ではないと思います。もし私たちがゲームをプレイするなら、私は私が考えることができる最も嫌な機能で間違いなくあなたを攻撃します（そして私は論理学者です）。

— アンドレイバウアー

B (m) > n

$B(m)>n$

m

$m$

n

$n$

B

$B$

$B$ $\Phi$ $\iff$ $\Phi$ $B$ $\neg$ $\iff$ $\Phi$

$\Phi$ $B(m_i)=n_i$ $1\le i\le k$

\sum_{i = 1}^{k} (B (m_{i}) - n_{i})^{2} > 0

$\sum_{i=1}^k (B(m_i)-n_i)^2>0$

\begin{matrix} (*) & \sum_{i = 1}^{k} B (m_{i})^{2} + n_{i}^{2} > \sum_{i = 1}^{k} 2 B (m_{i}) n_{i} \end{matrix}

$\sum_{i=1}^k B(m_i)^2+n_i^2>\sum_{i=1}^k 2B(m_i)n_i\tag{*}$

$m_i$ $n_i$

— ビョルン・ジョス・ハンセン
ソース

n, m

$n,m$

n_{0} = B (7910)

$n_0=B(7910)$

B (7910) \leq n_{0}

$B(7910)\le n_0$