理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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参照要求：サブモジュラー最小化および単調ブール関数
背景：機械学習では、グラフィカルモデルを使用して高次元の確率密度関数を表すことがよくあります。密度が1に積分（合計）されるという制約を破棄すると、正規化されていないグラフ構造のエネルギー関数が得られます。 このようなエネルギー関数がグラフで定義されていると仮定します。グラフの各頂点に1つの変数があり、実数値の単項関数およびペアワイズ関数および\ theta_ {ij}（x_i、x_j）：ij \ in \ mathcal {E}。そのとき、全エネルギーはG = （V、E）X θ I（X I）：I ∈ V θ I J（X I、XのJ）：I 、J ∈ EEEEG = （V、E）G=（V、E）G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})バツバツxθ私（x私）：I ∈ Vθ私（バツ私）：私∈V\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}θ私はj（x私、xj):ij∈Eθij(xi,xj):ij∈E\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E} E(x)=∑i∈Vθi(xi)+∑ij∈Eθij(xi,xj)E(x)=∑i∈Vθi(xi)+∑ij∈Eθij(xi,xj）E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, …
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すべてのNP言語のメンバーシップの証人の規模はすでにわかっていますか？
質問は、別のトピックに対するDana Moshkovitzの回答を得たときに起こりました。 してみましょうLLL可能NP言語、および聞かせ、それぞれの可能NPの関係。次のような多項式が存在することがわかっています。RLRLR_Lppp ∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL∀x∈L,,∃w∈0,1p(|x|)(x,w)∈RL\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L 上記の声明はそのようなの存在を必要とするだけですが、それが明白に決定されるのを強制しません。対照的に、私が知っているすべてのNP言語について、はすでにわかっています。pppppp SATの場合、監視のサイズは、式に表示される原子の数に等しくなります。 ハミルトニシティの場合、証人のサイズはですは頂点セットです。O(|V|)O(|V|)O(|V|)VVV グラフ3カラーリングの場合、監視のサイズはで、は頂点セットです。O(|V|)O(|V|)O(|V|)VVV 目撃者のサイズを制限する多項式が存在することがわかっているNP言語（人工的なものも）が存在しますが、明示的に決定することはできませんか？pppppp
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「パーティション設定の問題」のマルチパーティ通信の複雑さ
私が検討しているアプリケーションでは、次の問題の通信の複雑さを知る必要があります。 与えられた場合、Sを1からnまでの整数のセットとします。アリス、ボブ、およびキャロルは、それぞれA、B、およびCで示されるSのサブセットを受け取ります。彼らは、A、B、およびCがSのパーティションを形成しているかどうか、つまり、互いに素であり、それらの和集合がSであるかどうかをチェックしたいと考えています。nnnSSS111nnnSSSAAABBBCCCAAABBBCCCSSSSSS 私は特に3者の場合に興味がありますが、他の場合も同様に興味深いでしょう。2者の場合、問題はEQUALITY問題と同等であるため、決定論的プロトコルの場合は下限、ランダム化プロトコルの場合はO （log n ）の上限があることに注意してください。Ω （n ）Ω（n）\Omega(n)O （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n) 私の質問は、この問題が以前に知られているかどうかです。関連する可能性のある問題を知っているなら、私も知りたいと思います。
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関数型プログラミングの違いリスト
質問岡崎以来の純粋に機能的なデータ構造の新機能 （論理プログラミングではなく）、およびjbappleの叙事詩の答えは、私は最近、これが見つけるために私を導いた。に興味を持ってきたものですこれは、関数型プログラミングでは、差分リストを使用して言及した差分リストの Haskellのための実装を。2つの質問があります（StackExchangeで2つの異なる質問をする必要がある場合は、ご容赦ください。）。 簡単な質問は、Haskellライブラリにあるもの以外に、関数型プログラミングや実装の違いリストの学術的検討を知っている人はいますか？jbappleの答えは、差分リストの引用を提供しませんでした（ロジックプログラミングの差分リストは、伝承と、Around Here Somewhere（TM）にあるいくつかのソースにあります）。Haskellの実装を見つける前に、そのアイデアが論理から関数型プログラミングに飛躍したことを知りませんでした。確かに、Haskellの差分リストは高階関数の自然な使用であり、ロジックプログラミングのものとはまったく異なる動作をしますが、インターフェイスは確かに似ています。 私が聞きたかったのは、もっと興味深い（そしてずっと曖昧な）ものは、前述のHaskell差分リストライブラリの主張された漸近的上限かどうかです。正しい/妥当と思われるです。私の混乱は、怠inessな複雑さの推論について明らかなものを見逃しているためかもしれませんが、大きなデータ構造上の置換（またはクロージャー形成、変数ルックアップ、または何か）が常に一定の時間がかかる場合にのみ、主張された境界が意味をなします。または、「キャッチ」とは、単に「ヘッド」と「テール」の実行時間に制限がないということです。これらの操作は、遅延計算/置換の任意の山を耕さなければならないからです。
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Ω（n lg n）の一意性/区別性の最悪の場合の簡単な証明？
（代数計算ツリーまたは敵対的引数に基づく）要素の一意性/識別性問題の対数線形下限にはいくつかの証明がありますが、アルゴリズム分析と設計の最初のコースで使用するのに十分簡単なものを探しています。ソートの下限と同じ「難易度」でも問題ありません。また、任意のアプローチ（例えば、組み合わせまたは情報理論に基づく）でも問題ありません。助言がありますか？
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Monotone-2CNFフォーミュラのソリューションを数える
Monotone-2CNF式は、各句が正確に2つの正のリテラルで構成されるCNF式です。 今、私はMonotone-2CNF式を持っています。してみましょう一連の可能さんを満たす割り当て。また、次の情報を提供できるオラクルもあります。S F OFFFSSSFFFOOO セットのカーディナリティ（の解の数）。FSSSFFF 変数与えられた場合： xxx 正のリテラルを含むの解の数。xSSSxxx 負のリテラル\ lnot xを含むSの解の数。SSS¬x¬x\lnot x 2つの変数x1x1x_1とx_2が与えられた場合x2x2x_2： x_1 \ land x_2を含むSの解の数。SSSx1∧x2x1∧x2x_1 \land x_2 x_1 \ land \ lnot x_2を含むSの解の数。SSSx1∧¬x2x1∧¬x2x_1 \land \lnot x_2 \ lnot x_1 \ land x_2を含むSの解の数。SSS¬x1∧x2¬x1∧x2\lnot x_1 \land x_2 \ lnot x_1 \ land \ lnot x_2を含むSの解の数。SSS¬x1∧¬x2¬x1∧¬x2\lnot x_1 \land \lnot x_2 オラクルは「制限付き」であることに注意してください。これはでのみ機能し、式使用できません。F …
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「順列pはセット内のグラフの自己同型ですか？」NP完全ですか？
グラフのセットS（有限グラフ、ただしグラフの数は無限）と、Sに作用する順列のグループPがあるとします。 インスタンス：Pの順列p 質問：自己同型pを認めるグラフgがSに存在しますか？ この問題は、一部のセットSでNP完全ですか？ グラフが順列p（つまり、証明書）を受け入れることを確認するのは簡単です。さらに、Sが完全なグラフのセットであるなど、問題がNP完全ではないSの例を見つけるのは簡単であり、答えは常にyesです。 注：それらがどのような種類のグラフであるかについてはあまり興味がありません。あなたが好きなら、それらは単純ではない、監督されている、色付けされているなどです 補遺：現在検討している問題は、どのアイソトピズムがラテン方格のオートトピズムであるかを分類することです（これは特別なタイプのグラフ自己同型として解釈することもできます）。 ラテン方格L（i、j）が与えられた場合、次の方法でグラフを作成できます。 頂点セットは、マトリックス内のセル（i、j）のセットであり、 i = i 'またはj = j'またはL（i、j）= L（i '、j'）の場合は常に、個別の（i、j）と（i '、j'）の間にエッジがあります。 このようなグラフは、ラテン方陣グラフと呼ばれます（たとえば、BaileyとCameronによるこの記事http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdfを参照）。ラテン方格の自己トピズムは、ラテン方格グラフの自己同型として解釈できます。したがって、Sを次数nのラテン方陣から形成されたラテン方陣グラフのセットとします。だから私が興味を持っている質問は： 順列pが与えられた場合、pはSのグラフの1つ（またはそれ以上）の自己同型ですか？ 私の考えでは、一般的に答えるのは難しい質問です。現在、この問題について30ページ以上の論文を書いています（2人の共著者）。実際にはほとんどの場合それは簡単です（ほとんどの場合「いいえ」です）が、いくつかの難しいケースがあります。 それで、「対称性分類」に関連する決定問題を見つけることに興味があります。それらはラテン方格に関係する必要はありません。ラテン方格の質問に答えるためにこれらのテクニックを使用したいだけです。
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ツリーの正しい定義は何ですか？
タイトルが言うように、ツリーの正しい定義は何ですか？制限されたツリー幅を持つグラフの代替定義としてkツリーと部分kツリーについて説明する論文がいくつかあります。たとえば、少なくとも1つの場所が定義しますkkkkkkkkk次のように kツリーをします。kkk グラフが呼び出される -tree場合といずれか一方のみあればGが有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1ようG ∖ vがあるk個の -tree。部分的なkツリーは、kツリーのサブグラフです。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k − 1G∖vG∖vG \setminus vkkkkkkkkk この定義に従って、次のグラフを作成できます。 エッジ、2ツリーから始めます。(v1,v2)(v1,v2)(v_1, v_2)222 以下のために、頂点作成V Iをしてまで、それは隣接作るV I - 1とV I - 2。i=1…ni=1…ni=1\ldots nviviv_ivi−1vi−1v_{i-1}vi−2vi−2v_{i-2} これを行うと、対角線で個の正方形のストリップが作成されます。同様に、上のストリップに直交する方向に最初の正方形からバンドの作成を開始できます。次に、n × nグリッドの最初の行と最初の列を作成します。頂点を作成し、頂点をその上部と左側の頂点に結合することにより、グリッドへの入力が簡単になります。nnnn×nn×nn \times n 最終結果は、グリッドを含むグラフになります。これは、実際には、ツリー幅であることがわかっています。n×nn×nn\times n。nnn kの正しい定義kkkツリーの、次のとおりである必要があります。 グラフが呼び出される場合-treeといずれか一方のみ場合Gは有する完全グラフであるk個の頂点、又はGは頂点有するV度Kを- 1の隣人ようにvが形成k個の -cliqueを、そしてGのvがありますkツリー。kkkGGGkkkGGGvvvk−1k−1k-1vvvkkkG vG vG \ vkkk そうすると、上記のようなグリッド状のグラフを作成できなくなります。 私は正しいですか？
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指向性st-connectivityの並列アルゴリズム
Chong、Han、およびLamは、時間でEREW PRAMでプロセッサーを使用すると、無向st接続が解決できることを示しました。有向st-connectivityで最もよく知られている並列アルゴリズムは何ですか？実行時間、決定論的/ランダム化アルゴリズム、および使用されるPRAMモデルを明記してください（プロセッサの数が多項式であると仮定）。任意のある向けST-接続の特殊なケースについて既知の時間並列アルゴリズム？O （log n ）O（ログn）O({\log}n)O （m + n ）O（m+n）O(m+n)o （ログ2n）o（ログ2n）o({\log}^2{n})
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ツリーの回転に関する基本定理の参照
2つの二分探索木は、順番のトラバースで一致する場合、線形的に同等であると言われます。次の定理は、ツリーの回転が非常に基本的な理由を説明しています。 AとBをバイナリ検索ツリーとします。すると、AとBは、ツリー回転のシーケンスによって接続されている場合にのみ線形的に等価です。 私はずっと前にデータ構造について最初に学んでいたときにこの結果に気付き、ツリー回転の特別な状態をより深く理解したかったのです。 証明はシンプルで直感的です：左向きの脊椎に沿って最小の要素をルート位置まで回転させます。順序不変量により、この再配置されたツリーは左のサブツリーを持つことができません。次に、適切なサブツリーで再帰します。結果は、線形等価性をテストするための標準形式です。 それは基本的な定理ですが、私は文学でこれに出くわすことはありません。この結果を次に使用する必要があるときは、参考にしてください。 （ボーナス脳ティーザー：2つの線形に等価なバイナリ検索ツリーを接続するツリー回転の最短シーケンスを見つけるための最良のアルゴリズムは何ですか？）
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高速スパースブール行列チェーン積
したがって、辺の長さが数十個の非常にまばらな正方ブール行列が約100から200個あり、それらの積を計算する必要があります。連続してそれらを乗算すると、通常、各ステップで製品がまばらにとどまることがわかります。 この場合に特に高速に動作するマトリックスチェーン製品アルゴリズムはありますか？ より高いレベルでは、問題は、ほとんどの要素が0〜3にしかマッピングされない、かなり小さいグラフ（NFAの遷移関数）で一連の1対多マッピングの構成を計算することです。 （すべてのマトリックスは同じサイズであり、最適な括弧付けを選択する必要がないため、これは通常の「マトリックスチェーン積」問題ではないことに注意してください）
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ランダムOracleモデルのゼロ知識プロトコルのシミュレータを使い果たす
「共通参照文字列とランダムOracleモデルにおける否認可能性」というタイトルの論文で、Rafael Passは次のように書いています。 RO [Random Oracle]モデルの標準ゼロ知識定義に従ってセキュリティを証明する場合、シミュレーターにはプレーンモデルシミュレーターに比べて2つの利点があります。 シミュレーターは、パーティがオラクルを照会する値を確認できます。 シミュレーターは、答えが「見える」限り、どのような方法でもこれらのクエリに答えることができます。 最初の手法、つまりROへのクエリを「監視」する機能は、ROモデルのゼロ知識の概念に言及するすべての論文で非常に一般的です。 ここで、ブラックボックスゼロ知識の定義を検討します（PPTは、確率的、多項式時間チューリングマシンを表します）。 ∃∃\exists（おそらく不正行為）PPT verifier、共通入力、およびランダム性ように、PPTシミュレーターし、以下は区別できません。∀ V * ∀ X ∈ L ∀ RSSS∀∀\forallV∗V∗V^*∀∀\forallx∈Lx∈Lx\in L∀∀\forallrrr 入力証明者と対話し、ランダム性を使用しているののビュー。 P x rV∗V∗V^*PPPxxxrrr出力入力上及び、ブラックボックスへのアクセス与えられる。 x r S V ∗SSSxxxrrrSSSV∗V∗V^* ここでは、ROクエリを監視しようとするシミュレーターを使い果たすことを目的とした不正検証ツール紹介します。V′V′V' LETブラックボックス零知識の定義において存在記号によって保証シミュレータであり、およびletの実行時間上部境界多項式である入力に。がROへのクエリを監視しようとすると仮定します。q （| x |）S x S V ∗SSSq(|x|)q(|x|)q(|x|)SSSxxxSSSV∗V∗V^* ここで、最初に（選択した任意の入力に対して回ROを照会し、次に悪意を持って任意に動作する不正について考えます。 q （| x |）+ 1V′V′V'q(|x|)+1q(|x|)+1q(|x|)+1 明らかに、はシミュレータ使い果たします。の簡単な方法は、このような悪意のある動作を拒否することですが、その方法では、区別者は実際の対話をシミュレートされた対話と簡単に区別できます。（実際のインタラクションでは、証明者は 'のクエリを監視できないため、がクエリしすぎているという単なる事実に基づいて拒否しません。） S S P V …
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ペアワイズ独立確率変数のチャーノフ型不等式
チャーノフ型不等式は、独立したランダム変数の合計が期待値から大きく逸脱する確率が、期待値と偏差で指数関数的に小さいことを示すために使用されます。ペアワイズ独立確率変数の合計にチェルノフ型の不等式はありますか？言い換えれば、次のことを示す結果があります。ペアごとに独立したランダム変数の合計がその期待値から逸脱する確率は、期待値と逸脱において指数関数的に小さいですか？
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ワンショット量子ヒット時間
論文では、量子ランダム指数関数的に高速化ヒットウォーク（arXivの：定量-PH / 0205083を）ケンペは、量子のための時間を打つの概念を与える量子ウォークの文献で非常に普及していないこと（ハイパーキューブで）歩きます。次のように定義されます。 ワンショット量子ヒット時間：離散時間量子ウォークには、ワンショット -hit time ifところ初期状態では、されるターゲットの状態で、かつ打つ確率です。（| Ψ 0 ⟩ 、| Ψ F ⟩ ）| ⟨ ΨのF | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ P | Ψ 0 ⟩ | Ψ F ⟩ のp > 0（T、p ）（T、p）(T,p)（ | Ψ0⟩ 、|Ψf⟩ ）（|Ψ0⟩、|Ψf⟩）(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)| ⟨ Ψf| うんT| Ψ0⟩ |2≥ P|⟨Ψf|うんT|Ψ0⟩|2≥p|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 …
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