ワンショット量子ヒット時間

論文では、量子ランダム指数関数的に高速化ヒットウォーク（arXivの：定量-PH / 0205083を）ケンペは、量子のための時間を打つの概念を与える量子ウォークの文献で非常に普及していないこと（ハイパーキューブで）歩きます。次のように定義されます。

ワンショット量子ヒット時間：離散時間量子ウォークには、ワンショット -hit time ifところ初期状態では、されるターゲットの状態で、かつ打つ確率です。 $(T,p)$ $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ $|\Psi_0\rangle$ $|\Psi^f\rangle$ $p>0$

通常、ような最小を知りたいでしょう。歩行中に測定を行う必要があるため、平均打撃時間の概念を定義することはできません（間違っている場合は修正してください）。それが、ワンショットの概念を持っている理由です。同じ作業で、量子ルーティングへのアプリケーションがあります（セクション5を参照）。 $T$ $p>0$

ウォークがターゲット頂点に到達したことを知るには、そのノードでのみ測定を行う必要があります。たとえば、ノードで開始し、ターゲットノードとして場合、ノードの $n$ 次元ハイパーキューブで、論文では、が有界エラー確率である、つまり、が非常に大きくなるにつれてことが示されています。したがって、歩行が到着したことを検出するには、ステップ後に測定を行います。これは指数関数的な高速化です。 $2^n$ $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ $T=O(n)$ $p\to 1$ $n$ $|11\dots11\rangle$ $\Omega(n)$

質問：

検索にこのヒット時間の概念を使用するには、少なくとも原点からターゲット頂点までの距離を知る必要があります。これは、測定を適用するタイミングを知る方法だからです。グラフがあり、初期頂点として設定し、に到達したいとしましょう。また、およびと仮定します。まあ、 $G$ $v_0$ $v^f$ $T=O(dist(v_0,v^f))$ $p\geq 1/2$ $T$ そこに到達するには少なくともその数のステップが必要なので、明らかです。このヒット時間を検索に使用しても意味がありますか？ノードの場所がわかっていても検索に意味はないが、「開始頂点からの距離」などの情報はあるがターゲットがどこにあるのか正確にはわからない場合、このヒット時間の概念は興味深いものになりますか？）検索アルゴリズム？
量子ルーティングへの応用は意味がありますか？論文では、パッケージのルーティングに使用できると書かれていますが、1ビットしか送信できないように思われます。たとえば、宛先に到着したかどうか。このフレームワークで実際に量子状態を送信できますか？論文では、この問題は扱われていません。
これはおそらく馬鹿げた質問かもしれませんが、ここで説明します。「一般化されたマッハツェンダー干渉計」を構築するためにヒット時間のこの概念を使用できますか？

クォンタムウォークのヒット時間の他の概念（セゲディやアンバイニのような）を知っています。この特定の打球時間に特に興味があります。

更新（2010年9月24日）： Joe Fitzsimonsの質問2および3に完全に回答しました。質問1はまだ残っていますが。最初に、Joeが私に勧めた論文を読み終えたので（たとえばarXiv：0802.1224を参照）、質問2をより具体的な用語で再度説明します。次に、念頭に置いて具体的な例を示します。質問1

2 '。具体的なメッセージ（従来の一連のビットなど）を送信する場合は、より複雑なユニタリを使用して、ウォークのステップ中にこの情報をコピーできます。量子状態を送信するには、さらに何かが必要です。スピンチェーンチャネルは、固定結合のキュービットの線形配列を使用します。送信したい状態（純粋な状態、混合状態で動作するかどうかはわかりません）を、数値結果に基づいて高い忠実度で送信できます。私はまだもっと考えなければなりませんが、私は2つのアイデアを持っています：i）グラフの各リンクにチェーンを置く、またはii）歩く、ターゲット状態を見つける、そして初期状態とターゲットの間のチャネルを作成してから送信する状態。これらのアプローチのいずれかがもっともらしいですか？混合状態で動作しますか？

1 '。長さ各辺を持つノードを持つ、原点を中心とする2次元グリッド上の歩行を考えてみましょう。初期状態をし、ターゲット状態をに設定します（。歩行は対称的であるため、以下に示すように、グリッドの境界上のどこかのターゲットで同じヒット時間とヒット確率が保持されます。 $n$ $\sqrt{n}$ $v_0=(0,0)$ $v^f=(\sqrt{n}-1,a)$ $a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

代替テキスト

したがって、入手できる情報はです。これを使用して、いつ測定を行うかを知ることができます。このグリッドを検索するために、ワンショットのヒット時間を使用できますか？ここでは、その情報が必要です。グリッドを検索する際の未解決の問題は、が検索の下限であり、グリッドの最適な上限があることを知っていることです。より良いアルゴリズムを見つけることができないか、グリッドでそれらを使用するときに下限を証明する技術が弱い下限を与えています。下に行く唯一の方法は、「情報」を質問の1つとして持つことです。これは、グリッドの下限を証明する方法を意味します。それは理にかなっていますか？ $dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$ $\Omega(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n\log n})$ $\sqrt{n\log n}$

— マルコス・ヴィラグラ
ソース

回答:

私はこの論文にあまり詳しくありませんが、ざっとざっと読んだ後、あなたの質問のそれぞれに大まかな答えをしようとします。

Groverのアルゴリズムは、実際にこのヒット時間という概念で見ることができます。システムをいつ測定するかを決める必要があり、Tはすべての結果に対して一定ですが、計算することは依然として重要です。ここでTは確かに（この場合は1）ではなく、なので、はここでは無効です。 $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ $O(\sqrt{n})$ $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
著者はランダムウォークを行うためにパケット全体を取っていると思います。明らかにこれにはやや複雑なユニタリが必要ですが、実際には問題は見当たりません。代わりに、BurgarthとBoseには、同一のグラフ全体で情報をエンコードするための非常に優れたスキームがあり、単に1dチェーンを選択したネットワーク（quant-ph / 0406112）に置き換えるだけでも機能します。
さて、この時間を打つという概念はあまり必要ありません。ハイパーキューブには完全な状態転送があり（たとえば、quant-ph / 0309131およびquant-ph / 0411020を参照）、2dの場合に対応するマッハツェンダー干渉計を備えた干渉計としてハイパーキューブ上のトランスポートを表示できます。

更新：（グリッドまたは他の格子上のランダムウォークに関する更新された質問に答えるために）

空間検索問題で強調する測定問題へのアプローチの1つは、歩行者が現在いる頂点（たとえば）がと等しく、現在の時間ステップである場合に1を返すように、各時間ステップで単純に測定を行うことです。tは、その頂点のヒット時間です。これにより、打点に達すると各頂点に対してのみ測定が行われ、その位置が正しい結果である場合に位置への崩壊のみが記録されるため、波動関数の崩壊の問題を回避する必要があります。 $v_t$ $v^f$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

ジョー、答えてくれてありがとう。約1の場合、測定の問題は、使用するためにターゲットが開始点からどれくらい離れているかを知る必要があることです。たとえば、ノードを持つd次元グリッドの場合、中心から開始し、ターゲットはグリッドの境界のどこかにあり、それがわかっているとしましょう。したがって、中心からの距離はであり、これはまた、ヒット確率がエラーを制限している場合のヒット時間です。そのような知識を持つことができると想定できますか？グローバーさんのために、あなたは完全なブラインド検索を行う、との、よりリアル思われているので

n

$n$

Ω (n^{1 / d})

$\Omega(n^{1/d})$

— マルコスVillagra

もちろんですが、必ずしも通常のグリッドを考慮する必要はありません。Groverのアルゴリズムは、他のすべてのノードに直接接続された中央ノードに対応するため、距離は常に固定されます。さらに、ヒット時間はすべてのノードに対して定義されないという別の問題があります。場合によっては、確率がしきい値に到達しないことがあります。誤解される可能性がありますが、リニアチェーンの場合、各サイトでの最大オーバーラップはXXZ結合チェーンのように減少すると考えています。

∣ v_{0} - v^{f} ∣^{- \frac{1}{2}}

$\mid v_0 - v^f \mid^{-\frac{1}{2}}$

— ジョーフィッツシモンズ

O (t^{- 1})

$O(t^{-1})$

はい、正確に。私が与えた図は、1つの特定のシステム用です。頂点の数に関係なく常に一定のヒット確率を達成できるとは限らないことを強調したかっただけです。

— ジョーフィッツシモンズ

しかし、検索に関する質問に戻って、「グリッドの空間検索」（quant-ph / 0303041）を考えていたので、グリッドの例を挙げました。それでも、ターゲットにヒットしたかどうかを確認するための測定を行うには、ターゲットを含むサブスペースで行う必要があるように思えます。私が想像しているように、歩行が到着したかどうかを常にチェックするそのサブスペース上のデバイスが必要です。私の問題は、ターゲットがどこにあるかを常に多かれ少なかれ知る必要があるように見えることです。（続き）

— マルコスヴィラグラ

質問1に関して、未知のターゲット頂点とハイパーキューブ上の既知のいくつかの原点頂点との間の距離を知ることは、検索プロセスに役立ちます。ただし、距離の値自体が、この情報の有用性を決定します。

典型的な量子ウォークアルゴリズムは、通常、グローバー検索のバリエーション/近似です。これらは、ヒルベルト空間全体の2次元部分空間での状態ベクトルの近似回転を伴います。

これらのアルゴリズムを使用して、原点から特定の距離にあるすべての頂点のほぼ均一な重ね合わせを効率的に準備できます。次に、量子または古典（モンテカルロ）検索を使用して、この重ね合わせ内のターゲット頂点を検索できます。古典的な検索の場合は、重ね合わせを準備し、頂点ベースで測定し、ターゲットが見つかるまで繰り返します。量子検索の場合、重ね合わせ準備手順（およびその逆）は、Grover反復のアダマール変換に代わるサブルーチンになります。

$n$ $d$ $\binom{n}{d}$ $\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$ $\approx n/2$

— アントニオ・ヴァレリオ・ミセリ・バローネ
ソース