参照要求：サブモジュラー最小化および単調ブール関数

背景：機械学習では、グラフィカルモデルを使用して高次元の確率密度関数を表すことがよくあります。密度が1に積分（合計）されるという制約を破棄すると、正規化されていないグラフ構造のエネルギー関数が得られます。

このようなエネルギー関数がグラフで定義されていると仮定します。グラフの各頂点に1つの変数があり、実数値の単項関数およびペアワイズ関数および。そのとき、全エネルギーは $E$ $G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$ $x$ $\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$ $\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

E (x) = \sum_{i \in V} θ_{i} (x_{i}) + \sum_{i j \in E} θ_{i j} (x_{i}, x_{j} ）

$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$

すべての $x \in \mathbf{x}$ がバイナリである場合、 $x$ はセットメンバーシップを示していると考えることができ、用語のちょっとした乱用でサブモジュラリティについて話します。この場合、エネルギー関数は $\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$ 。通常、エネルギーを最小化する構成を見つけることに興味があります $\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ 。

準モジュラーエネルギー関数の最小化と単調なブール関数との間に関係があるようです：任意ののエネルギーを下げる（つまり、その設定を「true」にする）と、最適な変数割り当ては、0から1にのみ変更できます（ "false"から "true"）。すべてのが0または1に制限されている場合、単調なブール関数： $\theta_i(x_i=1)$ $x_i$ $x_i^* \in \mathbf{x}^*$ $\theta_i$ $|\mathcal{V}|$

f_{私} （ θ ） = {バツ}_{私}^{*}

$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$

ここで、上記のように $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ 。

質問：ペアワイズ項変更することにより、このセットアップを使用してすべての単調なブール関数を表現できますか？を任意の準モジュラーエネルギー関数にできるとしたらどうでしょうか。逆に、すべてのサブモジュラー最小化問題をセットとして表現できますか単調なブール関数？ $\theta_{ij}$ $E$ $|\mathcal{V}|$

これらの接続をよりよく理解するのに役立つ参考文献を提案できますか？私は理論的なコンピューター科学者ではありませんが、サブモジュラー最小化の用語で考えることによって捕捉されない単調なブール関数に関する洞察があるかどうかを理解しようとしています。

— dan_x
ソース

私の知る限り、サブモジュラー最小化の場合は、単調なブールの場合について述べられていることすべてをキャプチャし、バイナリのサブモジュラーのブール関数は、すべてのサブモジュラーのブール関数を表現できます。ただし、ドメインが非ブールの場合、隠し変数が導入される場合でも、バイナリのサブモジュラー関数ではすべてのサブモジュラー関数を表現するには不十分です。（問題の正確なフレージングの微妙な見落としをおifびします。）

関連技術への多くのリンクがあり、コンピュータービジョンへのリンクが非常に明確になっているこの素晴らしい論文で、最新技術について説明しています。

StanislavŽivný、David A. Cohen、Peter G. Jeavons、バイナリサブモジュラー関数の表現力、DAM 157 3347–3358、2009。doi：10.1016 / j.dam.2009.07.001（preprint）

次の質問が近似に関するものである場合、この最近の論文では近似バージョンについて説明します。

Dorit S. Hochbaum、サブモジュラー問題-近似とアルゴリズム、arXiv：1010.1945

編集：リンクを修正しました。

— アンドラス・サラモン
ソース

（preprint）リンクは、doi：リンクとは異なる論文に移動しますが。

— dan_x

@dan x：リンクを修正しました。ヘッズアップに感謝します。

— アンドラスサラモン