Monotone-2CNFフォーミュラのソリューションを数える

Monotone-2CNF式は、各句が正確に2つの正のリテラルで構成されるCNF式です。

今、私はMonotone-2CNF式を持っています。してみましょう一連の可能さんを満たす割り当て。また、次の情報を提供できるオラクルもあります。S F $F$$S$$F$$O$

1. セットのカーディナリティ（の解の数）。$S$$F$
2. 変数与えられた場合： $x$
   • 正のリテラルを含むの解の数。$S$$x$
   • 負のリテラル\ lnot xを含むSの解の数。$S$$\lnot x$
3. 2つの変数$x_1$とx_2が与えられた場合$x_2$：
   • x_1 \ land x_2を含むSの解の数。$S$$x_1 \land x_2$
   • x_1 \ land \ lnot x_2を含むSの解の数。$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • \ lnot x_1 \ land x_2を含むSの解の数。$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • \ lnot x_1 \ land \ lnot x_2を含むSの解の数。$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

オラクルは「制限付き」であることに注意してください。これはでのみ機能し、式使用できません。F F ′ ≠ $O$$F$$F' \neq F$

質問：

3つの変数、、 が与えられた場合、とによって提供される情報を使用して、多項式時間でを含むの解の数を決定できますか？X 2 X 3 S ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 ∧ ¬ X 3 F $x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

注意：

問題のは、、、 8つの可能な組み合わせのいずれかで置き換えることができます。問題は同じままです。X 1 X 2 X $\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

経験的事実：

1週間前に次の経験的事実に出会いました。LET 含有する溶液のセットで、およびletを含むソリューションのセットになります。さて、条件が成り立つ場合、この関係も成り立つようです： ところ黄金比です。条件は次のようです："、¬ X 1 ∧ ¬ X 2 S ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 ∧ X 3 ⊂ S ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 ∧ X 3 C | S ¬ X 1 ∧ ¬ のx 2$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$

$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$、はほぼ同じ回数言及されてい$x_3$$F$ます。

その経験的事実を使用するには、近似値が他の近似値を与えることができるかどうかを本当に知りたいです。しかし、正確な場合、これが難しいことを示す簡単な方法があるかもしれません。これがスケッチです。

最初に、満足のいく割り当てがグラフ内の独立したセットに対応することに注意してください。私は、関数マッピングについて説明する語句「IのS-突起（G）」を使用します有する独立したセットIの数にI ∩ S = T。「k投影」は、VのすべてのサブセットSのS投影です。S | = K。$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

証明の概要：

1. 2プロジェクションが3プロジェクションを与える場合、各kのポリタイムでkプロジェクションも与えます。
2. 2プロジェクションが4プロジェクションを与える場合、グラフの独立したセットの数はFPであるため、FP =＃Pです。

（1）しようなるように（K-1）-projectionsギブK-突起。グラフ、そのK-突起、および所与のX 1、。。。、X 、K、V ∈ G、我々は上に突起を計算するX 1、。。。、x k、v。$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

グラフ定義 Vに新鮮な頂点を取り付けることによって、これは、Vを重みとして見ることができる。の（K-1）-projections G 'を計算することができるが、我々はG.だからのk投影を知っているので、我々が持っていますG ′の k射影。そして、これは与え、X 1、。。。、x k、vのG射影。$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

グラフが与えられると（2）は、エッジが注文と定義するGのKエッジを有するためには、電子1、。。。、e k。2突起GのK + 1が 4-投影から計算することができるGのK。G 0の独立セットの数は2 | G | 。繰り返し、Gの4射影を多項式時間で計算できます。${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

回答ではなく、いくつかの観察。

質問の注記に加えて、3つのリテラルの任意の組み合わせは、オラクルが提供できる少数の用語とともに、同じ変数上のリテラルの他の任意の組み合わせで表現できます。これは、交差する3つのセットのベン図を見て、8つの領域のそれぞれを他の領域に関して表現することから始まります。これは、式がモノトーンまたは2CNFである必要がないことに注意してください。

また、3リテラル接続詞を満たす解の数は、項の合計として表現でき、各項は0または1であり、すべての変数への特定の割り当てを表します。これらはそれぞれ線形時間で評価できますが、評価するべき指数関数的に多くの用語があるため、これは要件を満たしていません。$2^{n-3}$

したがって、問題は、単調な2CNFであるという特性を活用して、この指数サイズの式を多項式サイズに圧縮できるかどうかということです。

シングルまたはペアワイズリテラルの組み合わせのカウントが利用できない場合、ソリューションの数を含むアドバイス文字列だけにオラクルを制限する、より単純な質問を見てみました。ソリューションの数に関する知識を活用して、単一のリテラルに関するソリューションの数をすばやく計算する方法はありません。

解の個数が可能になるモノトーン2CNFについて何かあります含むX 1は 1が知っていたら、すぐに得られるようには| S | ？$S$$x_1$$|S|$