ツリーの回転に関する基本定理の参照

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2つの二分探索木は、順番のトラバースで一致する場合、線形的に同等であると言われます。次の定理は、ツリーの回転が非常に基本的な理由を説明しています。

AとBをバイナリ検索ツリーとします。すると、AとBは、ツリー回転のシーケンスによって接続されている場合にのみ線形的に等価です。

私はずっと前にデータ構造について最初に学んでいたときにこの結果に気付き、ツリー回転の特別な状態をより深く理解したかったのです。

証明はシンプルで直感的です：左向きの脊椎に沿って最小の要素をルート位置まで回転させます。順序不変量により、この再配置されたツリーは左のサブツリーを持つことができません。次に、適切なサブツリーで再帰します。結果は、線形等価性をテストするための標準形式です。

それは基本的な定理ですが、私は文学でこれに出くわすことはありません。この結果を次に使用する必要があるときは、参考にしてください。

（ボーナス脳ティーザー：2つの線形に等価なバイナリ検索ツリーを接続するツリー回転の最短シーケンスを見つけるための最良のアルゴリズムは何ですか？）

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— ヴォグセンごと
ソース

探すべき別の場所は、連想演算子を法とする等価性が同じものであるため、これが決定可能であるという参照の場合です。しかし、私が知っているすべての参考文献は、この事実を当たり前だと考えています。

— ロブシモンズ

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David Eppsteinがここで指摘しているように、二分木の最短経路を見つけることさえPにあることは知られていない。その答えへのコメントで彼は最良の現在の境界にリンクしている。

— スレシュ・ベンカット
ソース

私はそれから何かを学んだので、この答えを受け入れています。ただし、構造定理を知っている人がいれば、まだ構造定理の参照先を見つけたいです。

— Per Vognsen

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この観察を明示的に行った初期の論文-回転は順序通りの横断を保存する-は、（図2の）SleatorとTarjanの1983 自己調整バイナリ検索ツリーです。ルートへの移動のヒューリスティックは、Allen and Munroの1978 Self-Organizing Binary Search Treesの論文で研究されました。

— レフ・レイジン
ソース

Perの等価性の興味深い方向は、回転が順序を維持することではなく、回転を使用して同じ順序を持つ2つのツリー間を移動できることです。

— ラドゥグリゴー

はい-そのため、ルートへの移動を含めました。2つのツリー間の距離を計算するSleator、Tarjan、Thurstonによる別の論文（回転距離、三角測量、双曲線幾何）もありますが、これは回答に含めませんでした。Perの観察結果がどの論文にもそのまま掲載されているとは思わないが、間違っていることを証明したい。

— レフReyzin

正しい方向は、AVLツリー、2〜3本などの正当性の証明の必要な部分です。反対方向はより深いです。完全を期すためにツリーの回転以外の構造を保持する変換は必要ないと言われています。

— ヴォーグセンごと10

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$O(1)$ $O(1)$

Joan M. Lucas、二分木の回転グラフはハミルトニアン、Journal of Algorithms、Volume 8、Issue 4、1987年12月、Pages 503-535、ISSN 0196-6774、DOI：10.1016 / 0196-6774（87）90048-4。

回転グラフにハミルトニアンパスが存在するというより単純な事実のより単純な証拠は、ルーカスと彼女の共同研究者によって共著されたこの後の論文で見つけることができます。

ルーカスJM、Vanbaronaigien DR、Ruskey F.、上のローテーションおよびバイナリ木、アルゴリズムのジャーナル、第15巻、第3号、1993年11月、ページ343から366、ISSN 0196から6774の生成、DOI：10.1006 / jagm.1993.1045。

— マーベリック・ウー
ソース

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この後者では、ハミルトニアン経路が回転グラフに存在するというより単純な事実のより単純な証明も建設的です。

— 007singh
ソース

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あなたの答えは不完全だと思われますか？

— ジェレミー