タグ付けされた質問 「treewidth」

今日の私の質問は（いつものように）ちょっとばかげています。しかし、私はあなたに親切にそれを考慮するように要請します。 ツリー幅の概念の背後にある起源や動機について知りたいと思いました。FPTアルゴリズムで使用されていることは確かに理解していますが、それがこの概念が定義された理由だとは思いません。 ロビン・トーマス教授のクラスで、このトピックに関する筆記ノートを作成しました。私はこの概念のアプリケーションのいくつかを理解していると思います（ツリーの分離プロパティを分解されたグラフに転送するように）が、何らかの理由で、この概念が開発された理由はグラフの近さを測定することであると確信していません木に。 私は自分自身をより明確にしようとします（できるかどうかはわかりませんが、質問が明確でない場合はお知らせください）。同様の概念が、この概念が「借用」されたと思われる数学の他の分野のどこかに存在したかどうかを知りたい。私の推測はトポロジーになりますが、背景が不足しているため、何も言えません。 私がこのことに興味を抱く主な理由は、その定義を初めて読んだとき、誰がなぜそれをどのように思い、どのような目的で考えるのかわからなかったからです。質問がまだ明確でない場合、私は最終的にこのようにそれを述べてみます-treewidthの概念が存在しないふりをしましょう。離散的な設定に対する自然な質問（またはいくつかの数学の定理/概念の拡張）は、ツリー幅として定義（関連する単語を使用させてください）を思い付くようになります。

61 graph-theory  co.combinatorics  big-picture  ho.history-overview  treewidth 

ST接続性は、有向グラフ 2つの区別された頂点と間に有向パスが存在するかどうかを判断する問題です。この問題がログスペースで解決できるかどうかは、長年の未解決の問題です。これはN L対L問題と呼ばれます。t G （V 、E ）ssstttG （V、E）G（V、E）G(V,E)NLNLNLLLL 基礎となる無向グラフがツリー幅を制限している場合、ST接続の複雑さはどうなりますか。GGG NL-hardとして知られていますか？そこにある知ら上限は？o （ログ2n ）o（ログ2n）o({\log}^2n)

31 cc.complexity-theory  graph-theory  space-bounded  treewidth  logspace 

再構成予想では、グラフ（少なくとも3つの頂点を持つ）は、頂点が削除されたサブグラフによって一意に決定されます。この推測は50年前のものです。 関連する文献を検索すると、次のクラスのグラフが再構築可能であることがわかっています。 木 切断グラフ、補数が切断されたグラフ 正則グラフ 最大外部平面グラフ 最大平面グラフ 外平面グラフ クリティカルブロック 終了頂点のない分離可能なグラフ 単環グラフ（1サイクルのグラフ） 非自明なデカルト積グラフ 木の正方形 二度グラフ 単位間隔グラフ しきい値グラフ ほぼ非周期的なグラフ（つまり、Gvは非周期的） サボテングラフ 頂点が削除されたグラフの1つがフォレストであるグラフ。 最近、部分的な2ツリーの特殊なケースが再構築可能であることを証明しました。部分的な2ツリー（別名、直並列グラフ）が再構築可能であることが知られているかどうか疑問に思っています。部分的な2ツリーは、上記のカテゴリのいずれにも該当しないようです。 上記のリストの他の再構築可能なグラフのクラスがありませんか？ 特に、部分的な2ツリーは再構築可能であることがわかっていますか？

24 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  treewidth 

定数を、一方は入力グラフが与えられると、線形時間で決定することができるGそのかどうか、ツリー幅がある≤ K。ただし、kとGの両方が入力として与えられる場合、問題はNP困難です。（ソース）。k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGG≤k≤k\leq kkkkGGG ただし、入力グラフが平面の場合、複雑さについてはあまり知られていないようです。問題が明らかにされたオープンし、2010年にもに登場請求この調査 2007年とに分岐分解のためのWikipediaのページを。反対に、前述の調査の以前のバージョンでは、問題はNPハード（参照の証明なし）であると主張されていますが、これはエラーだと思います。 問題の複雑さを決定することがまだ開いている、所与と平面グラフGは、決定のGをツリー幅有する≤ K？もしそうなら、これは最近の論文で主張されましたか？部分的な結果はわかっていますか？そうでない場合、誰がそれを解決しましたか？k∈Nk∈Nk \in \mathbb{N}GGGGGG≤k≤k\leq k

23 reference-request  graph-theory  np-hardness  open-problem  treewidth 

私がどれだけ近いかを見つけることを試みている及びE [ T W （G ）]場合実際、あるG ∈ G （N 、P = C / N ） とC > 1は（そうNによらず一定でありますE [ t w （G ）] = Θ （n ））。私の推定では、t w （G ）≤t w （G ）tw(G)tw(G)E[ t w （G ）]E[tw(G)]E[tw(G)]G ∈ G （N 、P = C / N ）G∈G(n,p=c/n)G \in G(n,p=c/n)c > 1c>1c>1E[ …

23 graph-theory  co.combinatorics  treewidth  random-graphs 

ツリーの幅は、グラフがツリーにどれだけ近いかを測定します。ツリーの幅を計算するのはNP困難です。最もよく知られている近似アルゴリズムは係数。O （log n−−−−√）O（ログn）O(\sqrt{{\log}n}) Courcelleの定理は、単項2次論理（MSO2）で定義可能なグラフのプロパティは、有界ツリー幅のグラフのクラスで線形時間で決定できると述べています。最近の論文は、「線形時間」が「ログスペース」に置き換えられた場合でも、クールセルの定理がまだ有効であることを示しました。ただし、これは、ツリー幅が制限されているグラフのグラフ同型の空間の複雑さを解決しません。最もよく知られている結果は、LogCFLにそれを置きます。 他の問題はありますか： 一般的なグラフ上のNP-hard（またはPにあることが知られていない） 制限されたツリー幅を持つグラフ上の線形/多項式時間で解けることが知られている LogSpaceにあることが知られていない？

23 cc.complexity-theory  ds.algorithms  graph-theory  space-bounded  treewidth 

固定「k」（幅）のグラフのツリー分解を計算するためのオープンソースプログラムを知っている人はいますか？Tree-Decompositionを見つける問題は変数 "k"に対してNP-Hardですが、入力インスタンスは本当に小さく（〜10ノード）、 "k"は修正されます。

22 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  software  treewidth 

ツリー幅はFPTアルゴリズムで重要な役割を果たします。これは、多くの問題がツリー幅によってFPTパラメーター化されるためです。関連する、より制限された概念は、パス幅の概念です。グラフのパス幅が場合、ツリー幅は最大でkですが、逆方向では、ツリー幅kは最大でkのパス幅のみを意味し、log nは厳密です。kkkkkkkkkk ログnklog⁡nk\log n 上記を考えると、有界なパス幅のグラフにはアルゴリズム上の大きな利点があると期待されるかもしれません。ただし、1つのパラメーターのFPTであるほとんどの問題は、他のパラメーターのFPTであるようです。これに対する反例、つまり、パス幅は「簡単」ですが、ツリー幅は「難しい」問題について知りたいです。 私はイゴールRazgonによる最近の論文に実行することで、この質問をする動機たことを言及してみましょう（「有界木幅のCNFのために二分決定グラフで」、KR'14）で、問題の例を挙げたとき、ソリューションのkはパス幅であり、kがツリー幅の場合、（おおよそ）n kの下限です。この挙動を示す他の標本が存在するかどうか疑問に思っています。2kn2kn2^{k}nkkknknkn^kkkk 要約：ツリーの幅によってW-hardパラメーター化されているが、パス幅によってFPTパラメーター化されている自然な問題の例はありますか？もっと広く言えば、ツリー幅ではなくパス幅でパラメータ化すると、複雑さがはるかに改善されることがわかっている/信じられている問題の例はありますか？

18 parameterized-complexity  treewidth  graph-minor 

問題のMax-Satでは、できるだけ多くの節を満たすCNF式の割り当てを見つけるように求められます。 より単純な問題SATの場合、多項式時間で解くことができる多くの特殊なケースがあります。たとえば、多項式時間で2-SATを解くことができます。 Max-Satでは、2-CNF式の場合でもMax-SatはNP困難であるため、状況は異なります（各句には2つの変数しか含まれていません）。 Max-Satが多項式である興味深い特別な入力はありますか？ 特に、インデンスグラフがツリー幅を制限している場合にMax-Satを解決するための標準リファレンスに興味があります。

18 sat  treewidth  max2sat 

多くのハードグラフ問題は、有界ツリー幅のグラフ上の多項式時間で解くことができます。確かに、教科書は典型的には、例として独立セットを使用しますが、これはローカルの問題です。大まかに言うと、ローカル問題とは、すべての頂点の小さな近傍を調べることで解決策を検証できる問題です。 興味深いことに、グローバルな性質の問題（ハミルトニアンパスなど）でも、有界ツリー幅グラフでは効率的に解決できます。このような問題に対して、通常の動的プログラミングアルゴリズムは、ソリューションがツリー分解の対応するセパレーターを通過できるすべての方法を追跡する必要があります（例[1]を参照）。ランダム化されたアルゴリズム（いわゆるcut'n'countに基づく）は[1]で提供され、改良された（決定論的な）アルゴリズムも[2]で開発されました。 多くのことを言うのが正しいかどうかはわかりませんが、少なくともいくつかのグローバルな問題は、有界ツリー幅のグラフで効率的に解決できます。それでは、そのようなグラフでは難しい問題はどうでしょうか？私はそれらもグローバルな性質のものであると仮定していますが、他に何がありますか？これらの難しいグローバルな問題と、効率的に解決できるグローバルな問題を区別するものは何ですか？たとえば、既知の方法が効率的アルゴリズムを提供できないのはなぜですか。 たとえば、次の問題を検討できます。 エッジの事前色付けの拡張いくつかのエッジが色付けされたグラフが与えられた場合、この色付けをグラフ適切なエッジの色付けに拡張できるかどうかを決定します。k GGGGkkkGGG エッジ事前色付け拡張機能（およびそのリストエッジ色付けバリアント）は、2部の直並列グラフ[3]でNP完全です（このようなグラフのツリー幅は最大2です）。 最小和エッジが着色をグラフ考える、エッジ着色見つけるように場合と、その後、共通の頂点を有する。目的は、色付けの合計であるを最小化することです。χ ：E → N E 1 、E 2 χ （E 1）≠ χ （E 2）E ' χ（E ）= Σ E ∈ E χ （E ）G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)χ:E→Nχ:E→N\chi : E \to \mathbb{N}e1e1e_1e2e2e_2χ(e1)≠χ(e2)χ(e1)≠χ(e2)\chi(e_1) \neq \chi(e_2)E′χ(E)=∑e∈Eχ(e)Eχ′(E)=∑e∈Eχ(e)E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e) つまり、隣接するエッジが異なる整数を受け取り、割り当てられた数値の合計が最小になるように、グラフのエッジに正の整数を割り当てる必要があります。この問題は、部分的な2ツリー[4]（つまり、最大2のツリー幅のグラフ）ではNP困難です。 他のそのような困難な問題には、エッジが互いに素なパスの問題、部分グラフ同型の問題、帯域幅の問題が含まれます（[5]とその中の参考文献を参照）。木でも難しい問題については、この質問をご覧ください。 [1] Cygan、M.、Nederlof、J.、Pilipczuk、M.、van Rooij、JM＆Wojtaszczyk、JO（2011年10月）。単一の指数関数的な時間でツリー幅によってパラメーター化された接続性の問題を解決します。Foundation of Computer Science（FOCS）、2011 …

18 graph-theory  graph-algorithms  treewidth 

グラフのツリー幅を計算したいと思います。サブグラフ同型のVF2など、他のNPハードグラフの問題には、たとえばigraphで使用可能なコードを使用して、本当に優れたヒューリスティックがあります。グラフで試してみましたが、データに対して非常に高速に動作します。 同様の方法でツリー幅を計算するための高速なアルゴリズムはありますか？

18 ds.algorithms  graph-algorithms  treewidth  heuristics 

次のグラフクラスは文献で知られていますか？ グラフのクラスは正の整数でパラメータ化されとと各グラフ含まように、各頂点のためのの部分グラフ最大で距離で全ての頂点に誘起からにツリー幅は最大です。dddtttG = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)V ∈ Vv∈Vv\in VGGGdddvvvGGGttt これは、ローカルに制限されたtreewidthの概念を一般化し、グラフ内のローカル構造を検索するときに役立ちます。

17 reference-request  graph-theory  treewidth 

この質問は、以前の質問の1つに似ています。Kt+2Kt+2K_{t+2}は、最大のツリー幅のグラフの禁止されたマイナーであることが知られています。ttt すべてのツリー幅のグラフに対して最小限の禁止された未成年者である、適切に構築され、パラメータ化された、グラフの完全なファミリ（完全なグラフおよびグリッドグラフ以外）がありますか？換言すれば、明示的なグラフである上のように（完全グラフはない）頂点せいぜいツリー幅のグラフの禁止軽微であり、の関数であり、？ r G r r r tGrGrG_rrrrGrGrG_rrrrrrrttt 禁止されている未成年者の完全なセットは、最大3つのツリー幅のグラフで知られています。詳細については、このウィキペディアの記事を参照してください。 ツリー幅のグラフの禁止された未成年者の完全なセットは、最大で4つ知られていますか？

17 graph-theory  co.combinatorics  treewidth  graph-minor 

よく知られているように、グラフツリー分解は、各頂点バッグが関連付けられたツリーで構成され、次の条件を満たす。T T V ⊆ V （G ）V ∈ V （T ）GGGTTTTv⊆V(G)Tv⊆V(G)T_v \subseteq V(G)v∈V(T)v∈V(T)v \in V(T) すべての頂点は、バッグに発生します。TGGGTTT すべてのエッジには、エッジの両方のエンドポイントを含むバッグがあります。GGG すべての頂点について、を含むバッグは接続されたサブツリーを誘導します。V Tv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)vvvTTT また、分解からleannessと呼ばれる次の条件を要求する場合があります。 バッグのすべてのペアのために、の、もしとと、その後のいずれか）が存在する頂点互いに素のパス、又はB）ツリー、エッジ含まノードからの経路上のノードにようにおよびセットはすべてのパスと交差します。TaTaT_aTbTbT_bTTTA⊆TaA⊆TaA \subseteq T_aB⊆TbB⊆TbB \subseteq T_b|A|=|B|=k|A|=|B|=k|A| = |B| = kkkkA−BA−BA-BGGGTTTpqpqpqaaabbb|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(Tp)∩V(Tq)|≤k|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq kV(Tp)∩V(Tq)V(Tp)∩V(Tq)V(T_p) \cap V(T_q)A−BA−BA-BGGG ロビン・トーマスは、最小幅のツリー分解が常にあり、これもリーンであることを示しました。この事実のより単純な証拠は、たとえばパトリック・ベレンバウムとラインハルト・ディーステルによっていくつかの著者によって提供されました。 グラフ与えられた：私は何に興味を持ってすることは次のとおりであるとの最小幅木分解、我々は最小幅見つけることができます リーンの木分解多項式時間では？GGGGGGGGG 上記の2つの証明では、このような効率的な建設性は得られません。ベレンバウムとディーステルの論文では、「トーマスの定理のもう一つの（より建設的な）短い証明が、P。ベレンバウム、シュランケ・バウムツェルグンゲン・フォン・グラフェン、ディプロマルベイト、ハンブルグ大学2000で与えられた」と述べられている。残念ながら、私はオンラインで原稿を見つけることができず、私のドイツ語はそれほど素晴らしいものではありません。

16 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  treewidth 

私はに属している問題を探していますΣP2Σ2P\mathsf{\Sigma^P_2}一般的なグラフではなくである実際に私はこの問題は難しく、それらを解決するために有界-木幅グラフの通常の動的プログラミングを使用するよりもいると思う、有界木幅グラフに。PP\mathsf{P}

16 cc.complexity-theory  graph-theory  treewidth