多項式時間で最小幅のツリー分解をリーンにする

よく知られているように、グラフツリー分解は、各頂点バッグが関連付けられたツリーで構成され、次の条件を満たす。T T V ⊆ V （G ）V ∈ V （T $G$$T$$T_v \subseteq V(G)$$v \in V(T)$

1. すべての頂点は、バッグに発生します。$G$$T$
2. すべてのエッジには、エッジの両方のエンドポイントを含むバッグがあります。$G$
3. すべての頂点について、を含むバッグは接続されたサブツリーを誘導します。V $v \in V(G)$$v$$T$

また、分解からleannessと呼ばれる次の条件を要求する場合があります。

• バッグのすべてのペアのために、の、もしとと、その後のいずれか）が存在する頂点互いに素のパス、又はB）ツリー、エッジ含まノードからの経路上のノードにようにおよびセットはすべてのパスと交差します。$T_a$$T_b$$T$$A \subseteq T_a$$B \subseteq T_b$$|A| = |B| = k$$k$$A-B$$G$$T$$pq$$a$$b$$|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$$V(T_p) \cap V(T_q)$$A-B$$G$

ロビン・トーマスは、最小幅のツリー分解が常にあり、これもリーンであることを示しました。この事実のより単純な証拠は、たとえばパトリック・ベレンバウムとラインハルト・ディーステルによっていくつかの著者によって提供されました。

グラフ与えられた：私は何に興味を持ってすることは次のとおりであるとの最小幅木分解、我々は最小幅見つけることができます リーンの木分解多項式時間では？$G$$G$$G$

上記の2つの証明では、このような効率的な建設性は得られません。ベレンバウムとディーステルの論文では、「トーマスの定理のもう一つの（より建設的な）短い証明が、P。ベレンバウム、シュランケ・バウムツェルグンゲン・フォン・グラフェン、ディプロマルベイト、ハンブルグ大学2000で与えられた」と述べられている。残念ながら、私はオンラインで原稿を見つけることができず、私のドイツ語はそれほど素晴らしいものではありません。

P = NPでない限り、問題が複数時間で解決できない正式な理由を次に示します。与えられたグラフのツリー幅を見つけることはNP困難であることを知っています。グラフ与えられた場合、サイズ互いに素なクリークを追加して、新しいグラフを作成できます。の最小幅ツリー分解は、次のようにして取得できます。1つのバッグにクリークのすべてのノードが含まれ、もう1つのバッグにすべてのノードが含まれる2つのノードがあります。このツリー分解をリーンにするには、元のグラフリーンツリー分解を見つける必要があります。これは、副産物としてのツリー幅を与えます。$G$$V(G)+1$$G'$$G'$$G$$G$$G$