境界のあるツリー幅のグラフで簡単なグローバル問題と難しいグローバル問題を区別するものは何ですか？

多くのハードグラフ問題は、有界ツリー幅のグラフ上の多項式時間で解くことができます。確かに、教科書は典型的には、例として独立セットを使用しますが、これはローカルの問題です。大まかに言うと、ローカル問題とは、すべての頂点の小さな近傍を調べることで解決策を検証できる問題です。

興味深いことに、グローバルな性質の問題（ハミルトニアンパスなど）でも、有界ツリー幅グラフでは効率的に解決できます。このような問題に対して、通常の動的プログラミングアルゴリズムは、ソリューションがツリー分解の対応するセパレーターを通過できるすべての方法を追跡する必要があります（例[1]を参照）。ランダム化されたアルゴリズム（いわゆるcut'n'countに基づく）は[1]で提供され、改良された（決定論的な）アルゴリズムも[2]で開発されました。

多くのことを言うのが正しいかどうかはわかりませんが、少なくともいくつかのグローバルな問題は、有界ツリー幅のグラフで効率的に解決できます。それでは、そのようなグラフでは難しい問題はどうでしょうか？私はそれらもグローバルな性質のものであると仮定していますが、他に何がありますか？これらの難しいグローバルな問題と、効率的に解決できるグローバルな問題を区別するものは何ですか？たとえば、既知の方法が効率的アルゴリズムを提供できないのはなぜですか。

たとえば、次の問題を検討できます。

エッジの事前色付けの拡張いくつかのエッジが色付けされたグラフが与えられた場合、この色付けをグラフ適切なエッジの色付けに拡張できるかどうかを決定します。k $G$$k$$G$

エッジ事前色付け拡張機能（およびそのリストエッジ色付けバリアント）は、2部の直並列グラフ[3]でNP完全です（このようなグラフのツリー幅は最大2です）。

最小和エッジが着色をグラフ考える、エッジ着色見つけるように場合と、その後、共通の頂点を有する。目的は、色付けの合計であるを最小化することです。χ ：E → N E 1 、E 2 χ （E 1）≠ χ （E 2）E ' χ（E ）= Σ E ∈ E χ （E $G=(V,E)$$\chi : E \to \mathbb{N}$$e_1$$e_2$$\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$$E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

つまり、隣接するエッジが異なる整数を受け取り、割り当てられた数値の合計が最小になるように、グラフのエッジに正の整数を割り当てる必要があります。この問題は、部分的な2ツリー[4]（つまり、最大2のツリー幅のグラフ）ではNP困難です。

他のそのような困難な問題には、エッジが互いに素なパスの問題、部分グラフ同型の問題、帯域幅の問題が含まれます（[5]とその中の参考文献を参照）。木でも難しい問題については、この質問をご覧ください。

[1] Cygan、M.、Nederlof、J.、Pilipczuk、M.、van Rooij、JM＆Wojtaszczyk、JO（2011年10月）。単一の指数関数的な時間でツリー幅によってパラメーター化された接続性の問題を解決します。Foundation of Computer Science（FOCS）、2011 IEEE 52nd Annual Symposium on（pp。150-159）。IEEE。

[2] Bodlaender、HL、Cygan、M.、Kratsch、S.、＆Nederlof、J.（2013）。ツリー幅でパラメータ化された接続性問題の決定論的な単一指数時間アルゴリズム。オートマトン、言語、プログラミング（pp。196-207）。スプリンガーベルリンハイデルベルク。

[3] Marx、D.（2005）。平面グラフのエッジでのリストの色付けおよび事前色付け拡張のNP完全性。Journal of Graph Theory、49（4）、313-324。

[4] Marx、D.（2009）。最小合計エッジカラーリングの複雑さの結果。離散応用数学、157（5）、1034-1045。

[5] 西関、T.、Vygen、J。、およびZhou、X。（2001）。エッジ非結合パスの問題は、直並列グラフではNP完全です。離散応用数学、115（1）、177-186。

有界ツリー幅のグラフのほとんどのアルゴリズムは、何らかの形式の動的プログラミングに基づいています。これらのアルゴリズムを効率的にするには、動的プログラミングテーブルの状態数を制限する必要があります。多項式時間アルゴリズムが必要な場合は、多項式状態の数（たとえば、n ^ tw）が必要です。問題がFPTであることを示す場合、通常は状態数がツリー幅の関数であることを示したいと思います。通常、状態の​​数は、いくつかの小さなセパレータでグラフを分割するときのさまざまなタイプの部分解の数に対応します。したがって、通常、有界数の頂点を介して外部の世界と相互作用する部分解は有界数の型しか持たないため、有界ツリー幅グラフでは問題は簡単です。例えば、独立集合問題では、部分解のタイプは、選択された境界頂点のみに依存します。ハミルトニアンサイクル問題では、部分解のタイプは、部分解のサブパスが境界の頂点を互いに一致させる方法によって記述されます。クールセルの定理の変種は、部分的な解の型の数が制限されているという性質を持つという問題に十分な条件を与えます。

有界ツリー幅グラフで問題が難しい場合、通常は次の3つの理由のいずれかが原因です。

1. 問題にはグラフに捕捉されない相互作用があります。たとえば、Steiner Forestは、直近ではツリー幅3のグラフではNP困難です。これは、ソースとデスティネーションのペアが隣接しない頂点間の相互作用を作成するためです。

エリザベス・ガスナー：シュタイナーの森の問題の再検討。J.離散アルゴリズム8（2）：154-163（2010）

MohammadHossein Bateni、Mohammad Taghi Hajiaghayi、DánielMarx：平面グラフおよび有界ツリー幅のグラフ上のシュタイナーフォレストの近似スキーム。J. ACM 58（5）：21（2011）

2. 問題はグラフの端で定義されます。グラフの一部が頂点の制限された数を介して残りのグラフに接続されている場合でも、それらの少数の頂点に多くのエッジが付随する可能性があり、部分的なソリューションの状態は、これらすべてのエッジ。これが[3,4]の問題を困難にしたものです。

3. 各頂点は、多数の異なる状態を持つことができます。たとえば、Capacitated Vertex CoverはW [1] -hardでツリー幅でパラメータ化されています。部分的なソリューションの説明には、セパレーターのどの頂点が選択されたかだけでなく、セパレーターの各頂点が何回選択されたかの記述も含まれるためエッジをカバーするために使用されます。

Michael Dom、Daniel Lokshtanov、Saket Saurabh、Yngve Villanger：制限された支配とカバーリング：パラメーター化された視点。IWPEC 2008：78-90

私の提案は、Courcelleの定理を注意深く見ることです。モナド2次論理（の特定の拡張）で表現可能な問題は、ツリー幅でパラメーター化されたときにFPTアルゴリズムを持ちます。私の疑いは、これがこれらのグラフのFPT問題の既知の例の多くまたはほとんどをカバーしていることです。この見方では、ローカル/グローバルの区別は、実在のMSOで表現できる問題と、MSOの定式化でより高いレベルの定量化を行う問題との区別に密接に関連しているようです。実際の質問に戻ると、MSOの定式化の欠如（Myhill–Nerodeの定理に関連するアイデアを使用して多くの場合無条件で証明できる）は、FPTアルゴリズムの欠如の証拠です（複雑な理論的仮定なしで証明するのは難しい）。

そのような例の1つは、最も疎なカットの問題だと思います。一様なスパースカット問題は、有界ツリー幅のグラフで解くことができますが、有界スパースカット問題は、有界ツリー幅のグラフでは近似できません（17/16よりも良い）。

スパースカット問題にはさまざまなバリエーションがありますが、よく知られているものの1つは次のとおりです。

グラフ所与と重み関数、エッジカット見つけるのためのそのようなは、このようなすべての可能なカットで最小化されます。（場合、があり、問題定義を決定バージョンに変更することもできます）。$G=(V,E)$$w:E(G)\rightarrow N$$E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$$S \subset V$E'⊆E（G）W（E'）=ΣE∈E'W（E$\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$$E'\subseteq E(G)$$W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

主な成分は次の2つで構成されています。

1. 重み関数などの追加関数。ただし、重み付き関数には、有界ツリー幅の無向グラフではそれほど難しくないいくつかの問題があります。

2. 最もまばらなカット問題の性質。実際には、問題の定義に動的プログラミングの複数の依存関係が存在します。直感的に良い解決策は、グラフを（いくつかのエッジを削除することで）ほぼ等しい2つのサイズに分割することです。一方、このパーティションでは、使用するエッジの数が最も少ないものとして削除します。制限されたツリー幅グラフで問題が難しいのは、動的プログラミングを2方向に適用する必要があるが、両方の方向が互いに依存しているためです。

一般に、問題が動的プログラミングのために複数の次元を必要とするような方法であり、それらの次元が互いに依存している場合、問題は有界ツリー幅のグラフでは困難になる可能性があります。このパターンは、問題の問題と最も疎なカットの問題の両方で見ることができます。（最初の問題では以前の色付けをできるだけ小さくしたいのに対し、2番目の問題では明らかに2つの関数が相互に依存しています）