タグ付けされた質問 「puzzles」

ルービックキューブの明白な一般化を考えてみましょう。与えられたスクランブルキューブを解く動きの最短シーケンスを計算するのはNP困難ですか、それとも多項式時間アルゴリズムはありますか？n × n × nn×n×nn\times n\times n [関連する結果のいくつかは、最近のブログ投稿で説明されています。]

38 cc.complexity-theory  co.combinatorics  np-hardness  open-problem  puzzles 

アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。 誰もが5色を試してみませんか？;） 次の質問はラムジー理論から生じます。 n行m列のグリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、（0 、0 ）、（0 、1 ）、（1 、1 ）、及び（1 、0 ）、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、（2 、2 ）、（2 、6 ）、kkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)及び（3 、2 ）同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) 質問：単色の長方形を含まない17行17列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。444171717171717 既知の事実： 行列 17である 4単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない 17行列 17ケース。（ 17 x 17を決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の 16 x 17のカラーリングは省略しています。） 161616171717 444171717171717161616171717171717171717行列 19であるNOT 4単色矩形なし-colorable。 181818191919 444 x 18および 18 x 18も不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 171717181818181818181818 …

37 co.combinatorics  puzzles  open-problem  ramsey-theory  graph-colouring 

ここに私が解決できなかったパズルがあります。この問題が既に知られているか、簡単な解決策があるかどうかを知りたいです。 全単射定義することが可能である bicartesian閉じたカテゴリのプロパティを使用します。Andrej Bauerは、これが何を意味するかの説明を「Constructive gem：juggling exponentials」としてブログに投稿しました。3N≅5N3N≅5N 3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N} この全単射には興味深い特性があります。これは「有界入力」であり、出力の各コンポーネントが入力の有界に多くのコンポーネントにのみ依存することを意味します。しかし、ためには、この構成のみことを示すことができると思わK NとLとN場合同形であり、K及びLが奇数か偶数両方共に。これは質問を開いたままにします：k,l≥2k,l≥2k,l\geq 2kNkN k^\mathbb{N} lNlN l^\mathbb{N} kkklll から3 Nまでの有界入力全単射はありますか？2N2N 2^\mathbb{N} 3N3N 3^\mathbb{N} 問題をより詳細に説明する短いメモがあります： 無限シーケンスの有界入力全単射に関する推測。 定義： 関数である有界入力整数が存在する場合、kは 出力の各成分ように、Fは最大でのみ依存するk個の 入力のコンポーネント。より正式には、fは各インデックスのための場合有界入力されるJ ∈ J 指数あるiが1、⋯ 、iはkは ∈ I および関数F M：Xf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf:∏i∈IXi→∏j∈JYjf : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j kkkfffkkkfffj∈Jj∈Jj \in Ji1,⋯,ik∈Ii1,⋯,ik∈Ii_1,\dotsb,i_k \in I 全てについてようにX∈X成分 …

28 puzzles  ct.category-theory  topology 

注：これは、標準の9x9の数独パズルに関するものです。ソリューションは、解決された法的パズルをサポートするだけです。そのため、ソリューションは空のセルをサポートする必要がなく、解決された数独パズルのプロパティに依存できます。 私はこれを疑問に思っていましたが、満足している答えを考えることができませんでした。単純なソリューションでは、各セル（81セル）に1バイト、合計648ビットを使用します。より洗練された解決策は、ベース9数（セルあたり一桁）全体数独パズルを記憶し、必要とする⌈log2(981))⌉=257⌈log2⁡(981))⌉=257\lceil\log_2(9^{81}))\rceil = 257ビット。 しかし、それでも改善できます。たとえば、3x3サブグリッドの9つの数字のうち8つを知っていれば、9番目の数字を簡単に推測できます。これらの考えを続けて、この質問が具体的な解決された数独の量に至るまで続けることができますか？これで、各バイナリ番号を数独パズルにマップする巨大なルックアップテーブルを使用できますが、それは使用可能なソリューションではありません。 だから、私の質問： ルックアップテーブルを使用しない場合、数独パズルを格納するために必要なビットの最小量とアルゴリズムは何ですか？

28 co.combinatorics  puzzles 

Peter Shorは、ルービックキューブを解く複雑さに関する以前の質問に答えようとする試みに関して、興味深い点を持ち出しました。私はそれがNPに含まれなければならないことを示すためにかなり素朴な試みを投稿しました。ピーターが指摘したように、私のアプローチはいくつかの例で失敗します。このようなインスタンスの潜在的なケースの1つは、パスの長さに極大が存在する場合です。これにより、構成からキューブを解くには移動が必要になり、から1回の移動で到達できる任意の位置からキューブを解くにはまたはいずれかが移動することがあります。場合、これは必ずしもそのような問題ではありませんS A A S A S A − 1 A S A S A 3 × 3 × 3n×n×nn×n×nn \times n \times nSASAS_AAAASASAS_ASA−1SA−1S_A - 1AAASASAS_A一般的にキューブを解くのに必要な移動の最大数（そのキューブのGod's Number）ですが、がそのキューブのGod's Numberより厳密に小さい場合は間違いなく問題です。だから私の質問は、そのような局所的な最大値が存在するのですか？キューブに対する答えでさえも私にとって興味深いものです。SASAS_A3×3×33×3×33 \times 3 \times 3

22 co.combinatorics  puzzles 

LET簡単のグラフであるの頂点程度のない頂点を持つ。 2つの頂点について、それらの両方に隣接する一意の頂点があると仮定します。このようなグラフが規則的であることを証明するのは、A Course in Combinatorics、van LintおよびWilsonの演習です。GGGnnn（n > 3）（n>3）(n > 3)n − 1n−1n − 1GGG しかし、私の質問は、与えられた制約を満たすグラフが存在するかどうかです。問題解決セッション中に元のエクササイズについて議論している間、誰かが、頂点のすべてのペアが一意の共通近傍を持ち、グローバルな頂点がないグラフの例を考え出すことができるかどうか尋ねました。構築のための具体的な例や手順を思い付くことも、グラフにこれらの特性があるという証拠を確立することもできませんでした。 助言がありますか？ 注：そのようなグラフが規則的であることを証明することに関しては、それはかなり簡単であることが判明しました。頂点は同じ次数を持ち、推移性引数は、非グローバル頂点制約の助けを借りて、グラフが規則的であることを示します。

19 graph-theory  co.combinatorics  puzzles 

私の8歳の子供は、従来の迷路を作成するのに飽きてしまい、次のようなバリエーションを作成することに取りかかりました。 アイデアは、xから始まり、通常のルールを介してoに到達することです。また、あなたは整数いずれかから「ホップ」することができます任意の他の整数にが、あなたが支払わなければならない特権のためのドル。目標は、最小のコストで迷路を解決することです。上記の例では、コスト5でx-14-18-27-28-oを介してxからoに行くことができますが、x-13-11-9-8-29-28-oに行く方が安くなります4。aaabbb|a−b||a−b||a-b| だからここに私の質問です：これを解決するために考えることができる（漸近的な実行時間の観点から）最良の解決策は何ですか？入力形式について合理的な仮定を行うことができます。 注：回答を念頭に置いているため、ここで「パズル」タグを使用していますが、それが最適であるかどうかはわかりません。（ここで、は迷路内の整数の数です。）O(n2)O(n2)O(n^2)nnn

18 ds.algorithms  optimization  puzzles 

問題：整数の長さを持つスティックのセットが与えられます。それらの長さの合計はn（n + 1）/ 2です。 我々は、サイズのスティックを得るためにそれらを破ることができます多項式時間で？ 1,2,…,n1,2,…,n{1,2,\ldots,n} 驚くべきことに、この問題について私が見つけた唯一の参考文献は、この古代の議論です。 http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html 問題について他に何が知られていますか？私たちは、問題が「リンボにある」ことを証明できますか？ 更新：カッティングスティックの問題には、各スティックの長さが少なくとも単位であるという制約があります。（制約のない場合のコメントと剛の回答を参照してください）。nnn

18 reference-request  complexity-classes  puzzles 

問題は次のとおりです。 一部のセルには、1..Nからのいくつかの数字がある正方形があります。魔方陣まで完成できるかどうかを判断する必要があります。 例： 2 _ 6 2 7 6 _ 5 1 >>> 9 5 1 4 3 _ 4 3 8 7 _ _ 9 _ _ >>> NO SOLUTION 8 _ _ この問題はNP完全ですか？はいの場合、どうすればそれを証明できますか？ MSのクロスポスト

13 cc.complexity-theory  np-hardness  np  puzzles 

数独は、NP完全な有名なパズルです。Binary Sudokuは、数字のと1のみを許可するバリアントです。ルールは次のとおりです。000111 各行と各列には、等しい数のゼロと1が含まれている必要があります。 各行と各列は一意です。 行または列にゼロまたは連続したトリプルが含まれていない（1 1 1は1の連続したトリプルです）。1 1 11111 1 1 入力は、ゼロと1で部分的に満たされた正方形です。パズルを解くには、N × Nの正方形の各セルに、上記の規則を順守しながら0または1を入力する必要があります。バイナリ数独パズルを解くための難治性の結果を見つけることができませんでした。N× NN×NN \times NN× NN×NN \times N000111 バイナリ数独パズルを解くのはどれくらい難しいですか？NP完全ですか？ また、関連する問題の複雑さに興味があります。 上記のルール1と2のみを尊重する完全に埋められた正方形を考えると、N× NN×NN \times N 結果の正方形がルール3を順守するような行と列の順列を見つけるのはどれくらい難しいですか？

12 cc.complexity-theory  np-hardness  puzzles 

ぬりかべはマインスイーパ/ Nonogramsに緩く同様の制約ベースのグリッド充填パズルです。数字は各セルのオン/オフ値で満たされるグリッドに配置され、各数字はそのサイズの接続された「オン」セルの領域を示し、「オフ」セルの領域に対するいくつかのマイナーな制約（それは接続する必要があり、連続する2x2リージョンを含めることはできません）。ウィキペディアのページには、より明確なルールとサンプルパズルがあります。 一般的に、この種のパズルはNP完全である傾向があり、Nurikabeも例外ではありません。ソリューション自体が問題の（多項式で検証可能な）証拠として機能するため、それらはNPに分類されます。しかし、ほとんどの同様のパズルとは異なり、Nurikabeインスタンスは簡潔である可能性があります：グリッド上の数独は、解決可能なΘ （n ）の指定が必要です（n − 1未満の指定が提供される場合、欠落しているシンボルを区別する方法はありません） 、Nonogramsは明らかにそれぞれの行または列に与えられた少なくとも一つを必要とし、マインスイーパは、少なくとも上でギブンスを有していなければならない1n × nn×nn\times nΘ （n ）Θ(n)\Theta(n)n − 1n−1n-1個のセルまたは指定されたセルの隣にないセルがあります（したがって、そのステータスを判断できません）。ただし、Nurikabeパズルの指定はΘ（n2）になる必要がありますが、そのサイズのそれぞれにO（1）が指定される可能性があるため、Θ（log（n））ビットでNurikabeパズルを指定できますサイズのN-もしくは反転、k個のビットは、サイズの指数関数のぬりかべ・インスタンスを指定するのに十分であり得るKのみ保証はNEXPにおける問題のあることであることを意味します。1161161\over16Θ （n2）Θ(n2)\Theta(n^2)O（1）O(1)\mathrm{O}(1)Θ （log（n ））Θ(log⁡(n))\Theta(\log(n))nnnkkkkkk Θ （n2）Θ(n2)\Theta(n^2)Θ （n2）Θ(n2)\Theta(n^2)O（1）O(1)\mathrm{O}(1)長方形なので、独自の簡潔な説明があります。基本的なNP完全性の結果を超えて、このパズルについて行われた追加の研究、特に簡潔な可能性のあるケースのさらなる複雑さの結果を知っている人はいますか？ （注：これは元々math.SEで尋ねられましたが、まだ回答がなく、このサイトの適切な研究レベルのようです）

11 cc.complexity-theory  np-hardness  puzzles 

私は最近、インタラクティブな証明について学んでおり、全体が理論的な好奇心にすぎないのか、それとも実用的な用途があるのか​​疑問に思っていました。私はシャワーで私に起こった例から始めると思った： 最近、「神の数」= 20というニュースが出されています。（神の数は、ルービックキューブを解くために必要な最小限のステップ数です）。これはかなりおもしろいですが、少しひねりがあるようです...これは、教科書の「通常の」証明ではなく、多項式時間検証可能な意味です。この証明には明確な「ブルートフォース」の風味があります。つまり、モーリー博士の研究室の男たちは、Googleの大規模なスーパーコンピューターで数十億のキューブの組み合わせを試して、このきちんとした下限を見つけました。 とにかく、質問は次のとおりです。MorleyDavidson博士と彼のチームが正直であることをどのようにして確認できますか。さて、数学的に厳密ではないので、すぐに権威からの議論を窓の外に投げることができます。明らかな代替案は、ソースコードをチェックして全体を再度実行することにより、証明を再検証することです。これは、計算リソースのひどい浪費であるように思われます。自分のワークステーションでそれを行う必要があります-本当の懐疑論者にとって非常に退屈で不快な提案です。ですから、これは一種の存在論的デイリーマのようです。 だから、これはまさにインタラクティブな証明が必要な状況だと私は信じています。Googleのスーパーコンピューターは、すべて強力であるが欺Pro的な証明者になる可能性があります。どういうわけか「オラクル」に多項式回数クエリを行い、この下限に納得できれば、彼が正しいという事実をすべての合理的な疑いを超えて確信できます。 それは、意思決定の問題が存在する場合はその「神の数は<20である」と思われるように、または以下のように（非公式）修正再表示することができますΠp2Π2p\Pi_2^p ルービックキューブ内のすべての開始組み合わせ、20未満のステップをとる解、βを解くβが存在します。αα\alphaββ\beta （それが正しいかどうかはわかりませんが、とβは両方ともサイズが小さく、開始構成と解決策を考えると、実際に立方体を解くかどうかを簡単に確認できます）αα\alphaββ\beta 決定問題「神の数は20」は次のように言い換えることができます。 神の数は20未満であり、ルービックキューブの20のステップを開始するいくつかの組み合わせの解決策が存在します。 このため、おそらくIP [n]の証拠があります。（もう一度、私の動作を確認してください） 私の質問は二つあります これを行う実際の方法はありますか？ インタラクティブな証明の「実用的な」使用法の他の例は何ですか？

11 proofs  puzzles  interactive-proofs 

ひろいもの 人気のコンプリートパズルです。関連するパズルの計算の複雑さに興味があります。NPNPNP 問題は： 入力： x正方形グリッドと整数上の一連の点を指定n kんんnんんnkkk 質問：多角形の角にある点の数が少なくともような直線の多角形（軸または軸に平行な辺）はありますか？y kバツバツxyyykkk ポリゴンのすべてのコーナーは、入力ポイントの1つになければなりません（したがって、ベンドは入力ポイントでのみ許可されます）。 この問題の複雑さは何ですか？ソリューションが凸型の直線ポリゴンに制限されている場合、複雑度はどのくらいですか？ 編集4月13日：代替の定式化：指定された点の最大コーナーを持つ直線ポリゴンを見つけます。

10 cc.complexity-theory  np-hardness  puzzles  integer-lattice 

星形グラフだけで構成されるグラフあります。星形グラフは、その中の他のすべてのノードへのエッジを持つ1つの中央ノードで構成されます。ましょう中に存在する異なるサイズの異なるスターグラフも。スターグラフ中心であるすべてのノードのセットを呼び出します。H 1、H 2、… 、H n G RGGGH1、H2、… 、HんH1,H2,…,HnH_1, H_2, \ldots, H_nGGGRRR ここで、これらのスターグラフが他のスターグラフのエッジを構築し、ノード間にエッジが発生しないと仮定します。次に、どのように多くのエッジが内のノード間で最大に存在としていないノードグラフが平面のままでなければならない場合、？R RRRRRRRRRR このようなエッジの数の上限が必要です。私が念頭に置いている1つの上限は、が頂点の1つのセットであり、残りの頂点が別のセット形成する2つの部分からなる平面グラフと見なすことです。これらのセット（と）間のエッジに関心があります。これは平面の2つの部分からなるため、そのようなエッジの数はのノード数の2倍に制限されます。A R A GRRRあAARRRあAAGGG 私が感じるのは、より良い境界があるということです。おそらくのノードの2倍とのノードの数です。RあAARRR 私の直感を反証できる場合は、それも良いでしょう。うまくいけば、あなたの何人かは、いくつかの関連する議論とともに良い限界を思い付くことができます。

9 graph-theory  co.combinatorics  puzzles 

以下の既知の「Google Eggs Puzzle」の簡単な説明は、主にWebサイトGoogle Eggsからのものです。 Google Eggs Puzzle：床がmで卵がmの場合、投げを最小限に抑えながら（壊れた卵ではなく）卵を安全に投げることができる最も高い床を見つける方法は何ですか。 上記の問題のいわゆる「最高階」は、より正式な定義に値します。 「最高」：f階から落下した卵は壊れますが、（f-1）階から落下した卵は壊れないような、床f（十分に高い建物）がなければなりません。そして、ここのf-1が最上階です。 実際、「最高」の記述は、スティーブン・S・スキエナの著書「アルゴリズム設計マニュアル（第2版）」からの抜粋です。第8章「動的プログラミング」の練習問題として、Google EggsやThe Two Egg Problemのように、動的プログラミングによってパズルを解くことに専念する多くのリソースがWebにあります。 しかし、上記の本からの質問があります： E(n,m)=Θ(n1m)E(n,m)=Θ(n1m)E(n, m) = \Theta(n^{\frac{1}{m}})E(⋅)E(⋅)E(\cdot) それが私の問題を動機づける質問です： E(n,m)=Θ(n1m)E(n,m)=Θ(n1m)E(n, m) = \Theta(n^{\frac{1}{m}})

8 ds.algorithms  puzzles  dynamic-programming