Nurikabeの（おそらく簡潔な）複雑さは何ですか？

ぬりかべはマインスイーパ/ Nonogramsに緩く同様の制約ベースのグリッド充填パズルです。数字は各セルのオン/オフ値で満たされるグリッドに配置され、各数字はそのサイズの接続された「オン」セルの領域を示し、「オフ」セルの領域に対するいくつかのマイナーな制約（それは接続する必要があり、連続する2x2リージョンを含めることはできません）。ウィキペディアのページには、より明確なルールとサンプルパズルがあります。

一般的に、この種のパズルはNP完全である傾向があり、Nurikabeも例外ではありません。ソリューション自体が問題の（多項式で検証可能な）証拠として機能するため、それらはNPに分類されます。しかし、ほとんどの同様のパズルとは異なり、Nurikabeインスタンスは簡潔である可能性があります：グリッド上の数独は、解決可能なΘ （n ）の指定が必要です（n − 1未満の指定が提供される場合、欠落しているシンボルを区別する方法はありません） 、Nonogramsは明らかにそれぞれの行または列に与えられた少なくとも一つを必要とし、マインスイーパは、少なくとも上でギブンスを有していなければならない$n\times n$$\Theta(n)$$n-1$個のセルまたは指定されたセルの隣にないセルがあります（したがって、そのステータスを判断できません）。ただし、Nurikabeパズルの指定はΘ（n2）になる必要がありますが、そのサイズのそれぞれにO（1）が指定される可能性があるため、Θ（log（n））ビットでNurikabeパズルを指定できますサイズのN-もしくは反転、k個のビットは、サイズの指数関数のぬりかべ・インスタンスを指定するのに十分であり得るKのみ保証はNEXPにおける問題のあることであることを意味します。$1\over16$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$長方形なので、独自の簡潔な説明があります。基本的なNP完全性の結果を超えて、このパズルについて行われた追加の研究、特に簡潔な可能性のあるケースのさらなる複雑さの結果を知っている人はいますか？

（注：これは元々math.SEで尋ねられましたが、まだ回答がなく、このサイトの適切な研究レベルのようです）

あなたは本当に質問しているようです：NurikabeはNPにいますか？

Nurikabeは、NP完全問題をNurikabe決定問題に還元するために使用できる多項式サイズのガジェットを構築できるため、NP困難です。これは、Holzer、Klein、およびKutribが行うことであり、McPhailおよびFixのポスター（どちらもWikipediaの記事から参照されています）です。

著者の両方のグループは、問題がNPに自明であると仮定し、メンバーシップの問題を振り払います。簡潔なインスタンスについてのあなたの不安はスポットにあるようです-私は問題がNPにあるとは思わない。決定問題を形式化するには、次の方法を検討してください。

BINARY NURIKABE
入力：Nurikabeボードを表すバイナリの整数mおよびn 、およびそれぞれがボード上の位置とその位置に書き込まれた正の整数を示すトリプルのリスト。
質問： Nurikabeの制約を考慮して、残りのボードの位置を2色で着色できますか？

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

質問は次のようになります。すべてのバイナリNurikabeインスタンスに多項式サイズの証明書があり、多項式時間で確認できますか？

そのような証明書が必ず存在することは私には明らかではありません。また、簡潔で迅速に検証可能な証明書が存在できないことを証明する方法が明らかではありません。

ただし、独自のソリューションへの制限は、問題が実際に米国では困難であるため、NPは困難であり、したがってNPにはありそうもないことを意味します。ポイントは、「人間に提示されるインスタンスの望ましい機能とは対照的に」「ユニークなソリューションがある」をNurikabeの制約と見なす場合、ソリューションがあることを示すだけでは十分ではありませんが、他の解決策が不可能であることを示します。この要件だけで、問題がおそらくNPにないことを確認できます。これは、単項バージョンの問題にも当てはまります。

要約すると、一意のソリューションの要件を緩和し、ボードサイズを単項で指定した場合、決定の問題はNPにあります。一意でないソリューションとバイナリボードサイズでは、決定問題がNPにあるかどうかは不明です。また、独自のソリューションを使用した場合、意思決定の問題は米国にとって困難であり、したがって、ボードサイズのどちらのエンコーディングについてもNPには存在しそうにありません。