カッティングスティックパズル

問題：整数の長さを持つスティックのセットが与えられます。それらの長さの合計はn（n + 1）/ 2です。

我々は、サイズのスティックを得るためにそれらを破ることができます多項式時間で？ ${1,2,\ldots,n}$

驚くべきことに、この問題について私が見つけた唯一の参考文献は、この古代の議論です。

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

問題について他に何が知られていますか？私たちは、問題が「リンボにある」ことを証明できますか？

更新：カッティングスティックの問題には、各スティックの長さが少なくとも単位であるという制約があります。（制約のない場合のコメントと剛の回答を参照してください）。$n$

注意：Jukka Suomelaが質問にコメントしたように、質問からリンクされたページは、ページ上の問題が特定のスティックの長さ以上であるという制限があるという点で、質問で述べられた問題とは異なる問題についてですn。この回答は、この制限のない問題に関するものです。質問にエミールさんのコメントは、問題を指しているためと制限、彼のコメントと、次の答えの間には矛盾がありません。

問題は、数値が単項で与えられたとしても、NP完全です。

3パーティションの問題は、次の問題です。
インスタンス：正の整数a ₁、…、単項のa _n。ここで、n = 3mで、n個の整数の合計はmBに等しいので、各a _iはB / 4 < a _i <B / 2。
質問：整数a ₁、…、a _nをm個のマルチセットに分割して、各マルチセットの合計がBに等しくなるようにすることはできますか？

3パーティションの問題はNP完全である場合でも、₁、...、_n個あるすべての個別[HWW08]（ためセルジュGaspersに感謝これについて私に言って）。次のように、3パーティション問題のこの制限されたバージョンを問題の問題に減らすことができます。

明確な正の整数a ₁、…、a _nで構成される3分割問題のインスタンスが与えられたと仮定します。m = n / 3およびB =（a ₁ +…+ a _n）/ mとし、Nをa _iの最大値とします。スティック問題の次のインスタンスを考えてみましょう。インスタンスは、各k∈{1、…、N}∖{a ₁、…、a _n }と長さBのm本のスティックに対して長さkの1本のスティックで構成されます。その各A _I満たすA _I > B / 4≥N / 2、それは、このスティックの問題が解決策を持っていることを証明することは容易である場合、3分割の問題のインスタンスが解を有する場合にのみ。

参照資料

[HWW08]ヘザー・ヒューレット、トッド・G・ウィル、ゲルハルト・J・ウーギンガー。次数シーケンスのマルチグラフ実現：最大化は簡単で、最小化は困難です。 オペレーションズ・リサーチレター、36（5）：594から596、9月2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004