正方格子上の隠れた多角形パズルの複雑さ？

ひろいもの人気のコンプリートパズルです。関連するパズルの計算の複雑さに興味があります。 $NP$

問題は：

入力： x正方形グリッドと整数上の一連の点を指定 $n$ $n$ $k$

質問：多角形の角にある点の数が少なくともような直線の多角形（軸または軸に平行な辺）はありますか？ $x$ $y$ $k$

ポリゴンのすべてのコーナーは、入力ポイントの1つになければなりません（したがって、ベンドは入力ポイントでのみ許可されます）。

この問題の複雑さは何ですか？ソリューションが凸型の直線ポリゴンに制限されている場合、複雑度はどのくらいですか？

編集4月13日：代替の定式化：指定された点の最大コーナーを持つ直線ポリゴンを見つけます。

— ムハンマドアルトルキスタニー
ソース

凸型直線ポリゴンは、動的プログラミングによって多項式時間で解けるべきではないでしょうか？

— Peter Shor、2010年

はい、そうです。

— Jeffε

@JeffE、一般的な非凸ケースはどうですか？あなたの傾向は何ですか？

— Mohammad Al-Turkistany

これらの問題の多くについて、あなたの最善の策は、平面3SATや平面NAE-SATのようなものから始めることです。それはひどく醜くなりますが、平面性はあなたが必要とするかもしれない構造を与えます。

— Suresh Venkat

@Sureshただのメモ：グーグルで検索すると、NAE3SATの平面バージョンがPにあることがわかりました（portal.acm.org/…）。

— Marzio De Biasi

回答:

私はこの奇妙な削減について考えました（間違っている可能性は高いです:-)。アイデア：度グリッドグラフ上のハミルトン経路から減少。平面グラフの各ノードは、すべての「行」（値）およびすべての「列」（値）に最大1つのノードが含まれるようにシフトできます。グラフは拡大縮小でき、各ノードは多くのポイントを持つ正方形のガジェットに置き換えることができます。ガジェット（元のグラフのエッジ）間の水平リンクは、別個の行のポイントのペアを使用して作成され、垂直リンクは、別個の列のポイントのペアを使用して作成されます。ノードトラバーサルは、正方形のガジェットの「多数のポイント」を使用して強制されます。 $\leq 3$ $y$ $x$

ノードガジェットを次の図に示します。

ここに画像の説明を入力してください

$[W,N,E]$ $C \times C$ $C$ $2C$ $2C+2$ $C \times C - 4 + 6$ $[N,E,S]$ $[E,S,W]$ $[S,W,N]$

$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ $x_1 \neq x_2$ $y1 \neq y_2$ $4 \times 3$

ここに画像の説明を入力してください

$E$ $W$

ここに画像の説明を入力してください

$4 + 2C$ $2e$

$n$ $e$ $C > (4n+2e)$ $k = 2Cn$

— マルツィオデビアシ
ソース

$V$

第2に、MaartenLöfflerとElena Mumfordによるこの作品の美しいアップデートが、「Connected Rectilinear Graphs on Point Sets」、 Journal of Computational Geometry、2（1）、1–15、2011にあります。

$V$

— ジョセフ・オルーク
ソース