半分満たされた魔方陣問題はNP完全ですか？

問題は次のとおりです。

一部のセルには、1..Nからのいくつかの数字がある正方形があります。魔方陣まで完成できるかどうかを判断する必要があります。

例：

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

この問題はNP完全ですか？はいの場合、どうすればそれを証明できますか？

MSのクロスポスト

部分的に満たされたラテン方陣を埋めることは、NP完全です。「部分的なラテン方格の完成の複雑さ」Charles J. Colbourn。Discrete Applied Mathematics、Volume 8、Issue 1、April 1984、Pages 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

ラテン方格問題をモジュラー演算により魔方陣問題に変えることはできますか？私の直感はイエスと言っていますが、私の脳の残りの部分は「グレーディングに戻りましょう」と言っています。

この質問には2つの部分があります。1つ目はNPの問題、2つ目はNP困難ですか。

最初の部分については、私は非自明な証拠で肯定的な答えを持っています。（以前のエラーを指摘してくれたSureshに感謝します。）

質問を決定問題として形式化するには、次の方法を検討してください。

UNRESTRICTED MAGIC SQUARE完了
入力：正の整数内での位置との整数の単項、リストで与えられたn個でn個のグリッド質問：配置が形成さそうという、グリッド内の残りの位置のための整数が存在しない魔方陣を？$n$$n$$n$

我々は制限を追加した場合の各整数ことを正確に一度魔方陣で発生する必要があり、その結果のMAGIC SQUARE完了決定問題はNPで明らかです。オイラーに続く1911年のブリタニカ百科事典の魔方陣の定義には、この制限があります。対照的に、ウィキペディアの記事では現在、「通常の魔方陣」という用語を使用しており、無制限バージョン用に「魔方陣」を予約しています。$1,2,\dots,n^2$

によるn個のグリッド、少なくともn個の数字与えられなければならない、そうでなければ答えは「YES」無制限バージョン自明です。したがって、この場合、入力のサイズにはnビット以上が必要であると想定できます。通常のバージョンでは、いくつかのビットを必要とするが解決策のない入力が存在する可能性があります。そのような複雑さを避けるために、nが単項で与えられるように指定しました。$n$$n$$n$$n$$n$

引数は、解に現れる整数の可能なサイズの境界を使用します。通常の場合、この境界は明らかにですが、一般的な場合、そのような境界が存在することはアプリオリに明らかではありません。指数関数的な境界が存在することがわかります。$n^2$

定理（Tyszka、定理12）：の形式の式を含む、ディオファントス方程式の任意のシステムは、及びxは、I = X jの + X Kをするため、I 、J 、K ∈ { 1 、2 、... 、N }のいずれか、整数解を持たないか、すべてのx iが整数で最大√である解を持っています$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$絶対値で 5 n−1。$\sqrt{5}^{n-1}$

これは、次の定理4.7としても登場しました。

• Apoloniusz Tyszka、RおよびCの算術に関する2つの予想、数学。ログ。クォート。56 175–184、2010。

Cipuは最近、漸近的に改善された範囲を発表しました。（可能な最小の境界は2 n − 1であることに注意してください。）引数は、Waldiによる行列の行列式の境界に基づいています。$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

これにより、次の結果が得られます。

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

INTEGER LINEAR PROGRAMMINGのインスタンスの解に対するPapadimitriouの限界を使用して、数値がすべて非負でなければならないバージョンもNPであることを示すことができます。

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• Christos H. Papadimitriou、整数プログラミングの複雑さについて、JACM 28 765–768、1981。（link）