「Google Eggs Puzzle」には、数学的に閉じた形（または少しきつい漸近形）がありますか？

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以下の既知の「Google Eggs Puzzle」の簡単な説明は、主にWebサイトGoogle Eggsからのものです。

Google Eggs Puzzle：床がmで卵がmの場合、投げを最小限に抑えながら（壊れた卵ではなく）卵を安全に投げることができる最も高い床を見つける方法は何ですか。

上記の問題のいわゆる「最高階」は、より正式な定義に値します。

「最高」：f階から落下した卵は壊れますが、（f-1）階から落下した卵は壊れないような、床f（十分に高い建物）がなければなりません。そして、ここのf-1が最上階です。

実際、「最高」の記述は、スティーブン・S・スキエナの著書「アルゴリズム設計マニュアル（第2版）」からの抜粋です。第8章「動的プログラミング」の練習問題として、Google EggsやThe Two Egg Problemのように、動的プログラミングによってパズルを解くことに専念する多くのリソースがWebにあります。

しかし、上記の本からの質問があります：

$E(n, m) = \Theta(n^{\frac{1}{m}})$ $E(\cdot)$

それが私の問題を動機づける質問です：

$E(n, m) = \Theta(n^{\frac{1}{m}})$

ds.algorithms puzzles dynamic-programming

— ヘンシン
ソース

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m

$m$

m = \log n

$m = \log n$

Θ (min_{k \leq m} k n^{1 / k})

$\Theta(\min_{k\leq m} kn^{1/k})$

m

$m$

\log n

$\log n$

m

$m$

@RobinKothari同意します。資料「Joy of Egg-Dropping」の数値実験は、観察をサポートします。ただし、の意味がません。私の推測では、パラメータは実際に使用されている卵の数です。次に、それは要素として何を意味しますか？どうもありがとう。

Θ (min_{k \leq m} k n^{\frac{1}{k}})

$\Theta(\min_{k \le m} kn^{\frac{1}{k}})$

k

$k$

k n^{\frac{1}{k}}

$kn^{\frac{1}{k}}$

— hengxin

意味を説明してみてもいいのですが、少し長めなので答えとして掲載します。

— ロビンKothari

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m個の卵とk個の測定値を使用すると、チェックできるほとんどの床は正確に（たぶん正確なdefに応じて）。帰納法によって証明は簡単です。この式には閉じた形の逆はありませんが、良い漸近形を与えます。

n (m, k) = (\binom{k}{0}) + (\binom{k}{1}) + \dots + (\binom{k}{m}),

$n(m,k)={k \choose 0} + {k \choose 1} + \ldots + {k \choose m},$

\pm 1

$\pm 1$

— ドモータープ
ソース

4

ドロップ戦略を少しスケッチするだけで、答えはより完全になります。研究レベルではないと思うので、おそらくそれは適切ではありません。とにかく、卵が2個あれば、最初のドロップで階をスキップできます。床が壊れない場合はをスキップし、壊れない場合はスキップします。これにより、この戦略を使用して到達できる最も高い階として。

k

$k$

k - 1

$k - 1$

k - 2

$k - 2$

k (k + 1) / 2

$k(k+1) / 2$

— Joe

@domotorp先ほど示した視点からパズルを検討することは、建設的に思えます。そして、に関する方程式は、と帰納法によって証明できます。この方程式の右辺の明確な閉形式はありませんが、漸近式与えることができますか？

n (m, k)

$n(m,k)$

m

$m$

k

$k$

k (n, m) = Θ (n^{\frac{1}{m}})

$k(n,m) = \Theta(n^{\frac{1}{m}})$

— hengxin

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@hengxin、はい、は次数の多項式であるため、定数を保持するとが得られることを示しています。しかし、質問に対するロビンのコメントを参照してください。より興味深い質問は、この正確な式が、たとえばerfで二項テールを近似することにより、より正確な境界を可能にするかどうかです。

(\binom{k}{m})

$\binom{k}{m}$

k

$k$

m

$m$

m

$m$

n (m, k) = Θ (k^{m})

$n(m, k) = \Theta(k^m)$

— Peter Taylor

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上記の私のコメントでは、おそらくはきつい制限であると述べました。下限についてはわかりませんが、意味を説明したいだけなので、上限を使用して直感を説明できます。 $\Theta(\min_{k \le m} kn^{\frac{1}{k}})$ $k$

ご想像のとおり、は実際に使用された卵の数です。これは、外側のを説明しています。個の卵を使用することを決定したら、次のように機能する戦略があります。数値を、ベースで書き出されると考えてください。したがって、の表現には桁が含まれ（「桁」という語は通常、基数10で予約されていますが、ここではそれを使用します）、各桁は0からまでの値を保持します。。当社では卵を、我々は数字を抽出しようとしている一つずつ。まず、最上位の桁から始めます。これは、番号が付けられた床から卵を投げることによって決定できます $k$ $\min$ $k$ $n$ $n^{1/k}$ $n$ $k$ $n^{1/k}-1$ $k$ $n$ $100..00$ 、、そして上のようにします。最大でスローした後、最も重要なビットが何であるかを学習しました。最悪の場合、1つの卵のみを破壊しました。これで、他のすべての桁に対してこれを行います。あるので数字が、我々は、必要がありますスロー。 $200..00$ $n^{1/k}-1$ $k$ $O(kn^{1/k})$

健全性チェックとして、場合、この戦略は1階から始めて各階から1つずつ卵を落とすことになることに注意してください、ベース2で作業しているだけなので、これにより二分探索アルゴリズム。 $k=1$ $k = \log n$

— ロビン・コタリ
ソース

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あなたとは異なり、domotorpのソリューションの興味深い特徴は、事前にnを知っている必要がないことです。

— Jeffε