ルービックキューブを解くために必要な移動数に極大はありますか？

Peter Shorは、ルービックキューブを解く複雑さに関する以前の質問に答えようとする試みに関して、興味深い点を持ち出しました。私はそれがNPに含まれなければならないことを示すためにかなり素朴な試みを投稿しました。ピーターが指摘したように、私のアプローチはいくつかの例で失敗します。このようなインスタンスの潜在的なケースの1つは、パスの長さに極大が存在する場合です。これにより、構成からキューブを解くには移動が必要になり、から1回の移動で到達できる任意の位置からキューブを解くにはまたはいずれかが移動することがあります。場合、これは必ずしもそのような問題ではありませんS A A S A S A − 1 A S A S A 3 × 3 × $n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$$S_A - 1$$A$$S_A$一般的にキューブを解くのに必要な移動の最大数（そのキューブのGod's Number）ですが、がそのキューブのGod's Numberより厳密に小さい場合は間違いなく問題です。だから私の質問は、そのような局所的な最大値が存在するのですか？キューブに対する答えでさえも私にとって興味深いものです。$S_A$$3 \times 3 \times 3$

Tomas Rokickiにこの質問をすると、すぐに正しい答えが得られました（「はい、極大値が存在します」）。

位置が完全な対称性を示す場合、それは必然的に極大値です（開始点を除くすべて）。QTM [クォーターターンメトリック]でこれが当てはまる理由を少し考えてみてください。HTM [ハーフターンメトリック]の場合、少し微妙ですが、それほど悪くはありません。

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このような位置はポンズアシノラムで、QTMでは距離12、HTMでは距離6（U2D2F2B2L2R2）です。

なぜこれが半回転メトリックの場合なのかわかりません。しかし、四半期ごとの指標については明らかです。完全な対称性を持つ位置では、すべての隣接する位置は同じパス長でなければなりません（すべての動きは対称性によって同等であるため）。したがって、完全な対称性を持つ位置は、極大値または厳密な極小値でなければなりません。しかし、厳格な極小値が存在することはできません...が存在しなければならないいくつかだけの距離の定義によって、解決状態までの距離を短縮移動。対称引数は、例の位置が提供されるように、立方体に変換されます。$n \times n \times n$

ここに、極大値がどこで見つかるかを示唆する非常に発見的な議論があります。してみましょう正確に必要な位置の数である解決するために移動を。そのような位置から移動するたびに、立方体は距離、、またはます。合計位置にアクセスできます。各ポジションから動きがあり、新しいポジションにつながります。距離位置は、これらの位置のいずれも距離にない場合の極大値です。 d d − 1 d d + 1 N d − 1 + N d + N d + 1 M M d M d + $N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$$M$$d+1$。これらの位置をアクセス可能な位置からランダムに一様に描画する場合（もちろん、そうではありません。これはヒューリスティックな部分です）、次のようになります。

距離での予想される極大の数はです。$d$$N_d X_d$

以下のために立方体、所定の位置から移動するの数は、との推定値設けられている神の数が20です。これらの値を使用して、予想される極大の数は、、およびであることがわかります。したがって、局所的な最大値はありそうにありません。で、位置の総数であると推定されるつの極大を見つける前に億の位置をテストするために期待するかもしれないので、。最後に、$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$、20ポジションごとに極大値が予想されます。