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計算の複雑さのクラスとその関係

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準多項式時間には自然な問題がありますが、多項式時間にはありませんか？
LászlóBabaiは最近、グラフ同型問題が準多項式時間にあることを証明 しました。シカゴ大学での 彼の講演もご覧ください。 ジェレミー・クンによる講演からの コメントGLL post 1、 GLL post 2、 GLL post 3。 場合ラドナーの定理によると、P≠NPP≠NPP \neq NP、その後、NPINPINPI空になっていない、つまりNPNPNPどちらにある問題含まPPPもNPNPNP -completeを。しかし、ラドナーによって構築された言語は人工的なものであり、自然な問題ではありません。P ≠ N Pの 下で条件付きでNPINPINPIすることが知られている自然な問題はありません。ただし、ファクタリング整数やGIなど、一部の問題はN P Iの適切な候補と考えられています。P≠NPP≠NPP \neq NPNPINPINPI NP⊈QP=DTIME(npolylogn)NP⊈QP=DTIME(npolylog⁡n)NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n}) 準多項式時間アルゴリズムを知っている問題がいくつかありますが、多項式時間アルゴリズムは知られていません。このような問題は、近似アルゴリズムで発生します。有名な例は有向シュタイナー木問題で、 （は頂点の数近似比を達成する準多項式時間近似アルゴリズムがあり。ただし、このような多項式時間アルゴリズムの存在を示すことは未解決の問題です。O(log3n)O(log3⁡n)O(\log^3 n)nnn 私の質問： ではあるがではない自然な問題を知っていますか？QPQPQPPPP
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「ほぼ簡単な」NP完全問題
ほとんどすべての入力でを正しく決定する多項式時間アルゴリズムがある場合、言語はP密度に近いとしましょう。LLLLLL つまり、 Pがあり、が消滅します。つまり、 また、一様なランダム入力では、Aのポリタイムアルゴリズムが1に近い確率でLの正しい答えを与えることを意味します。したがって、Lを表示することはほとんど簡単です。A∈A∈A\in LΔALΔAL\Delta AALLlimn→∞|(LΔA)∩{0,1}n|2n=0.limn→∞|(LΔA)∩{0,1}n|2n=0.\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.AAALLLLLL ことを注意LΔALΔAL\Delta Aスパースである必要はありません。たとえば、 n2n/22n/22^{n/2} nnnビットの文字列がある場合、2 ^ {n / 2} / 2 ^ n = 2 ^ {-n / 2であるため、（指数関数的レートで）まだ消えています。}2n/2/2n=2−n/22n/2/2n=2−n/22^{n/2}/2^n=2^{-n/2}。 上記の定義に従って、P-密度に近いNP完全問題 を（人工的に）構築することは難しくありません。たとえば、Lを任意のNP完全言語とし、L ^ 2 = \ {xx \、| \、x \ in L \}を定義します。次に、L ^ 2はNP完全性を保持しますが、最大で2 ^ {n / 2} nビットのyesインスタンスを持ちます。したがって、すべての入力に対して「いいえ」と答える簡単なアルゴリズムは、ほぼすべての入力でL ^ 2を正しく決定します。nビット入力の\ …
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コミュニケーションの複雑さ…クラス？
議論： 私は最近、複雑なコミュニケーションのさまざまなことを学ぶために個人的な時間を費やしてきました。たとえば、私はアローラ/バラクの関連する章に再び精通し、いくつかの論文を読み始め、Kushilevitz / Nisanに本を注文しました。直感的に、通信の複雑さと計算の複雑さを対比したいと思います。そして、特に、計算の複雑さが、計算の問題を複雑なクラスに分類する豊富な理論に発展したという事実に驚いています。その一部は、次の完全な問題に関して（少なくとも1つの観点から）想定することができます。各クラス。たとえば、N Pを説明するときNPNPNP 初めて誰かに、SATや他のNP完全な問題との比較を避けるのは難しいです。 それに比べて、コミュニケーションの複雑さのクラスに類似した概念を聞いたことはありません。「定理に完全な」問題について、私が知っている多くの例があります。例えば、一般的なフレームワークとして、著者らは、所与の通信の問題について説明かもしれない、次いで、関連定理ことを証明保持する、通信の問題がで解決することができるまたはいくつかのために少ないビット（特定の定理/問題に依存します問題のペア）。文学で使用される用語は、PがTに対して「完全」であるということです。T i f f X XPPPTTTI Ff私ffiffバツバツXバツバツXPPPTTT さらに、Arora / Barakの通信の複雑さの章のドラフト（最終印刷で削除/調整されたと思われる）には、「一般に、、c o N Pに類似した通信プロトコルを検討できます。、P Hなど」ただし、次の2つの重要な欠落があります。NPNPNPc o NPcoNPcoNPPHPHPH 「類似の」概念は、さまざまなタイプのリソースへのアクセスで特定のプロトコルを解決する通信の複雑さを計算する方法のように見えますが、適切な通信の複雑さのクラスを定義するだけでは終わりません。 通信の複雑さのほとんどは、結果/定理などの圧倒的多数が意味するという意味で、比較的「低レベル」であるようです。小さな、特定の、多項式サイズの値を中心に展開します。これは、たとえば、なぜが計算にとって興味深いのかという疑問を招きますが、類似の概念は通信にとってそれほど面白くないようです。（もちろん、単に「高度な」通信の複雑さの概念に気付いていないというだけのせいかもしれません。） NEバツPNEバツPNEXP 質問： 通信の複雑さのための計算の複雑さのクラスに類似した概念はありますか？ そして： もしそうなら、複雑度クラスの「標準」概念とどのように比較しますか？（たとえば、「通信の複雑さのクラス」に自然な制限があり、本質的にすべての計算の複雑さのクラスに足りない場合）通信の複雑さのために？
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すべての複雑度クラスには、リーフ言語の特性がありますか？
リーフ言語は、多くの複雑なクラスを均一に定義するための美しい方法です。ほとんどの複雑度クラスは通常、計算モデル（決定論的/ランダム化されたTMなど）とリソースの限界（ログ時間、ポリゴン空間など）によって指定されます。ただし、リーフ言語の定式化では、計算のモデルは1つだけであり、クラスはリーフ言語を指定することで指定されます。 詳細は長すぎて説明できないため、興味のある読者は次の2つの調査のいずれかに誘導します。 H Vollmerによる複雑度クラスの均一な特性化 KWワーグナーによるリーフ言語クラス どちらの調査も、最初の数ページで処方を説明するのに非常に役立ちます。 ワーグナーの調査では、「これまでに検討された実質的にすべての複雑さのクラスは、リーフ言語で記述できることが判明した」と彼は言います。 私の質問はこの声明に関連しています。リーフ言語の特性化が分からないクラスがあることは知っているので、これは、クラスが必ずしもそのような特性化を持っていないか、見つからないことを意味します。 すべての複雑度クラス（PとPSPACEの間など）でリーフ言語の特性化が期待されますか？（「自然な」複雑さのクラスに限定しましょう。）この種の結果は文献にありますか？ （私が答えを知って喜んでいる関連する質問：与えられたクラスのために葉の言語を思い付く（発見的）方法はありますか？） 編集： Sureshは、Wikipediaの記事にリーフ言語の短い定義があることを指摘しています。以下にコピーしています。 通常、いくつかの複雑度クラスは、多項式時間の非決定的チューリングマシンの観点から定義されます。各ブランチは、ブランチの条件の関数として受け入れまたは拒否でき、マシン全体が受け入れまたは拒否します。たとえば、非決定的チューリングマシンは、少なくとも1つのブランチが受け入れた場合に受け入れ、すべてのブランチが拒否した場合にのみ拒否します。一方、非決定論的チューリングマシンは、すべてのブランチが受け入れた場合のみ受け入れ、ブランチが拒否した場合は拒否します。この方法で多くのクラスを定義できます。
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PPADと量子
今日ニューヨークと世界中で、クリストスパパディミトリウの誕生日が祝われます。これは、Christosの複雑性クラスPPAD（およびその他の関連クラス）と量子コンピューターの関係について尋ねる良い機会です。彼の有名な1994年の論文で、 Papadimitriouは、PLS、PPADなどのいくつかの重要な複雑性クラスを紹介し、体系的に研究しました。（Papadimitriouの論文は以前のいくつかの論文に依存しており、特にAviadが述べたように、PLSは1988年にJohnson-Papadimitriou-Yannakakisによって紹介されました。） 私の主な質問は： 量子コンピューターは問題にいくつかの利点をもたらしますか？または ？または？等...PPA DPPADPPADPL SPLSPLSPL S∩ PPA DPLS∩PPADPLS \cap PPAD 別の質問は、PLSとPPADのいくつかの量子類似体、およびChristosの他のクラスがあるかどうかです。 私は、暗号化にPPADの最近の顕著接続はこれらの論文で発見されたことに注意してください：ナッシュ均衡を見つけるの暗号硬度に N Bitansky、Oパネート、A・ローゼンとによって缶PPAD硬度標準の暗号化の前提に基づいていますか？Aローゼン、Gセゲフ、Iシャハフ、そしてナッシュ均衡を見つけることは、アルカライチョドゥーリ、パベルフバセク、チェサンカマス、クルジストフピエトルザク、アロンローゼン、ガイロスブラムによるフィアット-シャミルの破れほど簡単ではありません。また、私の意見では、Christosのクラスは特に数学と数学の証明に近いことにも注意してください。 更新： Ron Rothblumは（FBを介して）Choudhuri、Hubacek、Kamath、Pietrzak、Rosen、およびG. Rothblumの結果はPPADが量子コンピューターの能力をはるかに超えていることを示唆しているとコメントしました。（私はそれを説明する精巧な答えを見て喜んでいます。） もう1つのコメント：関連する素晴らしい質問は、立方体の一意の単一方向でシンクを見つけるのに効率的な量子アルゴリズムがあるかどうかです。（このタスクはよりも簡単だと思いますが、とどのように関連しているかはわかりません。）これは、量子的利点を見つけるための探求に関連していますhttps://cstheory.stackexchange.com/a/767/712。 んnnPL SPLSPLSPPA DPPADPPADL PLPLP お誕生日おめでとう、クリストス！
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#Pの2つの関数による除算
してみましょうFFF、そのようなことを、整数値の関数であるである。ということにしていである？これが常に成り立つとは考えにくい理由はありますか？知っておくべき参考文献はありますか？2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P やや意外にも、この状況では機能のために、（はるかに大きい定数で）思い付いた用は古い未解決の問題です。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注：私は紙M.荻原、L. Hemachandra、を認識してい実行可能な閉鎖性のための複雑性理論の関連部門ごとの2の問題が研究されている（THM 3.13を参照してください）。ただし、フロア演算子を介してすべての機能の部門を定義するため、問題は異なります。これにより、パリティの問題をいくつか簡単に減らすことができました。
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UPの結果はNPに等しい
2011/02/08の編集：いくつかの参考文献を見つけて読んだ後、元の質問を2つの別々の質問に分けることにしました。UPとNPに関する部分は次のとおりです。構文および意味クラスの部分については、構文および意味クラスの利点を参照してください。 UPUP\mathsf{UP}（明確な多項式時間、参照についてはwikiと動物園を参照）は、 Nによって決定される言語として定義されます。NPNP\mathsf{NP}、追加の制約ものと-machines 任意の入力で最大1つの計算パスを受け入れます。 対U PおよびU P対N Pの正確な関係はまだ開いています。私たちは、最悪の場合の一方向関数があればと場合にのみ存在することを知っているP ≠ U P、及び介在物のすべての可能性に関連し神託があるP ⊆ U P ⊆ N Pは。PP\mathsf{P}UPUP\mathsf{UP}UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP}P≠UPP≠UP\mathsf{P} \neq \mathsf{UP}P⊆UP⊆NPP⊆UP⊆NP\mathsf{P} \subseteq \mathsf{UP} \subseteq \mathsf{NP} 対N Pが重要な質問である理由に興味があります。人々は（少なくとも信じる傾向にある中で文学これら2つのクラスが異なっていること）、そして私の問題は、次のとおりです。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP} 場合は、そこに任意の「悪い」結果が起こっていますか？UP=NPUP=NP\mathsf{UP} = \mathsf{NP} 2003年には複雑さに関するブログに関連する投稿があります。私の理解が正しい場合、Hemaspaandra、Naik、Ogiwara、およびSelmanによる結果は、 ある言語Lはそれぞれ充足式のためにそのようなφがあるユニーク満足割り当てXで（φ 、X ）にL、NPNP\mathsf{NP}LLLϕϕ\phixxx(ϕ,x)(ϕ,x)(\phi,x)LLL 次に、多項式階層が第2レベルに崩壊します。が成り立つ場合、そのような含意は知られていない。UP=NPUP=NP\mathsf{UP} = \mathsf{NP}
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パリティと
パリティとは分離不可能な双子のようなものです。それとも、過去30年の間そうでした。ライアンの結果に照らして、少人数のクラスに対する関心が新たになります。AC0AC0AC^0 Furst Saxe SipserからYao to Hastadまでは、すべてパリティおよびランダム制限です。Razborov / Smolenskyは、パリティ付きの近似多項式です（ok、modゲート）。Aspnes et alは、パリティに弱い次数を使用しています。さらに、Allender HertrampfとBeigel Taruiは、少人数のクラスで戸田を使用することについてです。そして、決定木を持つRazborov / Beame。これらはすべてパリティバスケットに分類されます。 1）でないことを直接示すことができる（パリティ以外の）他の自然な問題は何ですか？AC0AC0AC^0 2）AC ^ 0の下限に対する劇的に異なるアプローチが試みられたことを知っている人はいますか？
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同型予想に反対する自然な候補？
バーマンとハートマニスの有名な同型予想では、すべての完全言語は互いに多項式時間同型（p-同型）であると述べています。推測の重要な意義は、それが意味することです。1977年に公開されましたが、その時点で知られているすべての完全問題が実際にp-同型であることを裏付ける証拠がありました。実際、それらはすべてpaddableであり、これは素晴らしく自然な性質であり、非自明な方法でp-同型を意味します。P ≠ N P N PNPNPNPP≠ NPP≠NPP\neq NPNPNPNP それ以来、問題は未解決ですが、に対してp-同型である可能性が低い完全言語の候補が発見されたため、推測の信頼性が低下しました。しかし、私が知る限り、これらの候補はどれも自然な問題を表していません 。それらは、同型予想を反証する目的で対角化を介して構築されます。S A TNPNPNPSA TSATSAT 40年近くたった今でも、すべての既知の自然完全 問題はに対してp-同型であることは本当ですか？または、それとは反対の推測される自然な候補はありますか？NPNPNPSA TSATSAT
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SC内で最初の2つのレベルではなく、素敵な問題を探している
複雑さの動物園はについてはあまり持っていないS CSC\mathsf{SC}。私は素晴らしい探してい†すなわち、階層のより高いレベルにある問題、問題点D T iは、mはE S PをA 、C 、E（nはO （1 ）、LG O （1 ）、N ）であることが知られなくin D T i m e S p a c e（n O （1 ）††^\daggerD T i m e S p a c e（ nO （1 ）、lgO （1 ）n ）DTimeSpace(nO(1),lgO(1)⁡n)\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)。DTimeSpace(nO(1),lg2n)DTimeSpace(nO(1),lg2⁡n)\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n) 副次的な質問として、より高いレベルの階層（、N C、S C、P Hなど）で素晴らしい問題の例を見つけることが最初のレベルよりも難しい理由はありますか？ACAC\mathsf{AC}NCNC\mathsf{NC}SCSC\mathsf{SC}PHPH\mathsf{PH} が素敵で、私たちは直感的にそれが何を意味するかを理解すると思う数学的な用語ではない、例えば非関税措置のための問題を受け入れることは、人々は、それがために完全であることから脇に興味がないという人工的な問題である N Pグラフ彩色問題は前に面白かった一方で、 …
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カッティングスティックパズル
問題：整数の長さを持つスティックのセットが与えられます。それらの長さの合計はn（n + 1）/ 2です。 我々は、サイズのスティックを得るためにそれらを破ることができます多項式時間で？ 1,2,…,n1,2,…,n{1,2,\ldots,n} 驚くべきことに、この問題について私が見つけた唯一の参考文献は、この古代の議論です。 http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html 問題について他に何が知られていますか？私たちは、問題が「リンボにある」ことを証明できますか？ 更新：カッティングスティックの問題には、各スティックの長さが少なくとも単位であるという制約があります。（制約のない場合のコメントと剛の回答を参照してください）。nnn
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NPおよびParity-Pの/による最も有名な共同封じ込め？
パリティーPは、（ゼロまたはゼロ以外の数の受け入れパスではなく）偶数または奇数の「受け入れ」パスのみを区別できる非決定的チューリングマシンによって認識される言語のセットです。したがって、Parity-Pは基本的にPPの若い兄弟です。PPは、NPマシンの受け入れパスの数が過半数かどうか（つまり、その量の最上位ビット）をカウントしますが、Parity-Pは受け入れパスの数の最下位ビット。 NPと同様に、Parity-PにはUPが含まれます（これには、Pが含まれる可能性があります）。NPと同様に、Parity-PはPSPACEに含まれています。 質問。NPおよびParity-Pの最もよく知られているジョイントの上限と下限は何ですか？
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