頂点の色付けはPであるが独立セットはNP完全であるグラフ

頂点の色付けの問題はPにあるが、独立集合の問題はNPが完全であるグラフのクラスの例はありますか？

おそらくより一般的な説明（簡単な証拠付き）は、次の問題がすでにNP完全であることです。

入力：グラフG、Gの3色、整数k。

質問：Gにはサイズkの独立したセットがありますか？

これは、独立セットからの削減によって証明できます。グラフGを取得し、エッジを選択し、それを2回細分化する（つまり、エッジ{u、v}をパスu、x、y、vで置き換え、xとyの次数が2である）場合、Gの独立数正確に1ずつ増加します。（xかyのいずれかをGで独立したセットに正確に追加できます。逆も難しいことではありません。）したがって、m辺を持つグラフGがサイズkの独立したセットを持っている場合の質問は、質問と同等ですGのすべてのエッジを2回分割した結果であるG 'に、サイズk + mの独立したセットがあるかどうか。ただし、次のようにG 'を3つの独立したセットに分割することで、G'の3色を簡単に取得できることに注意してください。1つはGにある頂点を含み、他の2つのクラスはそれぞれサブディバイダー」各エッジの頂点。したがって、この手順は、その独立番号を計算すると元のグラフGの独立番号が得られるように、3色でグラフG 'を構築します。

おそらく、上原による「3連結立方平面グラフのNP完全問題とその応用」（実際には見たことのない論文）は、独立集合が三角形のない平面グラフでもNP完全であることを証明しています。しかし、グレッツの定理によれば、それらは常に3色付け可能であり、どのグラフでも3より少ない数の色のテストは簡単なので、Pで最適に色付けすることができます。

円グラフには逆の性質があります。つまり、色付けはNP完全ですが、独立集合の問題は簡単です。

これは、新しい答えではなく、明確に最初の三角形のない立方平面グラフにおける独立したセットの硬さのために、簡単に得るの参照ではありません：オーウェンMurphyのノート、大胴回りとグラフで独立したセットを計算、離散応用数学35（1992）167-170は 、

$n$$cn^k$$c>0$$k, 0\le k < 1$

$c$$c>0$

@BartJansenによって示される減少は、マーフィーの定理の証明における特別なケースです。

反対の性質については、@ DavidEppsteinで扱われているように、折れ線グラフは円グラフよりも自然であるように見えます。折れ線グラフの場合、COLOLINGはNP完全ですが、独立セットは簡単です。